A matriz de um operador linear F: R^3 R^3 em relação à base canônica é dada por M=(rrr1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1)
O operador H: R^3 R^3 é definido por H=I d+F+2 F^2.
A) Determine a matriz desse operador H em relação à base canônica de R^3.

Passo 1

O enunciado dá o operador FcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
M = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 ,
e define H = Id + F + 2F^2. Para encontrar a matriz de H na base canônica, basta calcular
H = I + M + 2,M^2

Passo 2

Calculamos primeiro M^2 = M cdot M. Multiplicando linha por coluna:
M^2 = 1cdot1+1cdot0+0cdot0 & 1cdot1+1cdot1+0cdot1 & 1cdot0+1cdot0+0cdot(-1) 0cdot1+1cdot0+0cdot0 & 0cdot1+1cdot1+0cdot1 & 0cdot0+1cdot0+0cdot(-1) 0cdot1+1cdot0+(-1)cdot0 & 0cdot1+1cdot1+(-1)cdot1 & 0cdot0+1cdot0+(-1)cdot(-1) = 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Em seguida, fazemos o escalar 2 vezes M^2:
2,M^2 = 2cdot 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 2 & 4 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2

Passo 4

Agora somamos termo a termo
H = I + M + 2,M^2,
onde
I = 1&0&00&1&00&0&1, M = 1&1&00&1&00&1&-1, 2,M^2=2&4&00&2&00&0&2
Somando entrada a entrada obtemos
H = 1+1+2 & 0+1+4 & 0+0+0 0+0+0 & 1+1+2 & 0+0+0 0+0+0 & 0+1+0 & 1+(-1)+2 = 4 & 5 & 0 0 & 4 & 0 0 & 1 & 2

Resposta

A matriz de H na base canônica é
4 & 5 & 0 0 & 4 & 0 0 & 1 & 2

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