Todas as respostas devem ser justificadas;
Proibido uso de calculadora, celular ou qualquer objeto não autorizado previamente.
Determine uma equação geral do plano que contenha o ponto A(1,3,5) e que seja perpendicular à reta r: x-22=y-1-4=z-23.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que:
  • passa pelo ponto A(1,3,5),
  • é perpendicular à reta
x-22 ;=; y-1-4 ;=; z-23
O conteúdo aqui é geometria analítica espacial: para definir um plano precisamos de um ponto e de um vetor normal.

Passo 2

Identificamos o vetor direção da reta r a partir dos denominadores da forma simétrica:
vec v = (2,,-4,,3)

Passo 3

Como o plano deve ser perpendicular à reta r, o vetor normal vec n do plano é paralelo ao vetor direção vec v. Podemos escolher
vec n = (2,,-4,,3)

Passo 4

A equação geral de um plano com normal vec n=(a,b,c) que contém o ponto A(x0,y0,z0) é
a,(x-x0)+b,(y-y0)+c,(z-z0)=0
Substituindo a=2, b=-4, c=3 e A(1,3,5) obtemos
2,(x-1)-4,(y-3)+3,(z-5)=0
Agora simplificamos:
2x-2 ;-;4y+12 ;+;3z-15 = 0
2x -4y +3z -5 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
2x -4y +3z -5 = 0

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