Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):
(C)
para
.
(C)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira para
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão do lado esquerdo é a soma de termos positivos (pois
implica e, portanto, para todo ). - Há dois termos constantes
e , ou seja, os termos constantes somam . - A variável
aparece como expoente em , o enunciado não especifica , então devemos considerar que a igualdade, se afirmada, seria para todos os (e qualquer compatível) — em testes de V/F normalmente entende-se que a proposição é universal em .
Passo 2
Estratégia didática: para mostrar que uma afirmação do tipo “essa igualdade vale para todo
” é falsa, o caminho mais simples e direto é encontrar um contraexemplo — isto é, escolher um valor explícito de
(e um
compatível, se necessário) para o qual a igualdade não vale. Uma única contradição é suficiente para declarar a proposição falsa.
Observação rápida sobre razão: se todos os termos do lado esquerdo são positivos e somam pelo menos um certo valor maior que zero, e para algum
o lado direito
tem outro valor que não coincide, então temos o contraexemplo.
Passo 3
Escolhemos o valor simples
(é um
). Vamos avaliar ambos os lados da igualdade para
. Note que isso vale independentemente de qual inteiro positivo seja
, porque
.
Calculemos os termos que não dependem de
:
Somando as constantes
obtemos
. Portanto, para
o lado esquerdo é
Como
, uma desigualdade simples é
Calcule a soma à direita:
Logo
Passo 4
Agora o lado direito para
é simplesmente
Comparando:
Portanto, para
a igualdade não se verifica (o lado esquerdo é muito maior que o direito). Isso é um contraexemplo que basta para concluir que a afirmação “a igualdade vale para
” é falsa como proposição universal.
Complemento (intuição): de forma geral o lado esquerdo é sempre maior que
(pois tem os dois termos
e
e os demais termos são não-negativos), enquanto
pode ser bem menor (por exemplo,
quando
). Logo não há igualdade para todos os
.
Resposta
F