Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):
(C) \frac{1}{(1+i)}+\frac{1}{(1+i)^{2}}+\frac{1}{(1+i)^{3}}+2+\frac{1}{(1+i)^{n}}+2=\frac{1}{i} para i>0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a igualdade abaixo é verdadeira para i>0:
\frac{1}{(1+i)}+\frac{1}{(1+i)^{2}}+\frac{1}{(1+i)^{3}}+2+\frac{1}{(1+i)^{n}}+2=\frac{1}{i}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão do lado esquerdo é a soma de termos positivos (pois i>0 implica 1+i>1 e, portanto, \frac{1}{(1+i)^k}>0 para todo k\ge1).
  • Há dois termos constantes +2 e +2, ou seja, os termos constantes somam 4.
  • A variável n aparece como expoente em \frac{1}{(1+i)^n}, o enunciado não especifica n, então devemos considerar que a igualdade, se afirmada, seria para todos os i>0 (e qualquer n compatível) — em testes de V/F normalmente entende-se que a proposição é universal em i>0.

Passo 2

Estratégia didática: para mostrar que uma afirmação do tipo “essa igualdade vale para todo i>0” é falsa, o caminho mais simples e direto é encontrar um contraexemplo — isto é, escolher um valor explícito de i>0 (e um n compatível, se necessário) para o qual a igualdade não vale. Uma única contradição é suficiente para declarar a proposição falsa.
Observação rápida sobre razão: se todos os termos do lado esquerdo são positivos e somam pelo menos um certo valor maior que zero, e para algum i o lado direito \frac{1}{i} tem outro valor que não coincide, então temos o contraexemplo.

Passo 3

Escolhemos o valor simples i=1 (é um i>0). Vamos avaliar ambos os lados da igualdade para i=1. Note que isso vale independentemente de qual inteiro positivo seja n, porque \frac{1}{(1+1)^n}=\frac{1}{2^n}\ge0.
Calculemos os termos que não dependem de n:
\frac{1}{(1+1)}=\frac{1}{2},\qquad \frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{4},\qquad \frac{1}{(1+1)^{3}}=\frac{1}{8}.
Somando as constantes 2+2 obtemos 4. Portanto, para i=1 o lado esquerdo é
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2^{n}}+4.
Como \frac{1}{2^{n}}\ge0, uma desigualdade simples é
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2^{n}}+4 \ge \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+4.
Calcule a soma à direita:
\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}= \frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.
Logo
\text{LHS (para }i=1)\ge 4+\frac{7}{8}=4{,}875.

Passo 4

Agora o lado direito para i=1 é simplesmente
\frac{1}{i}=\frac{1}{1}=1.
Comparando:
\text{LHS (para }i=1)\ge 4{,}875\qquad\text{e}\qquad \text{RHS (para }i=1)=1.
Portanto, para i=1 a igualdade não se verifica (o lado esquerdo é muito maior que o direito). Isso é um contraexemplo que basta para concluir que a afirmação “a igualdade vale para i>0” é falsa como proposição universal.
Complemento (intuição): de forma geral o lado esquerdo é sempre maior que 4 (pois tem os dois termos +2 e +2 e os demais termos são não-negativos), enquanto \frac{1}{i} pode ser bem menor (por exemplo, \frac{1}{2}=0{,}5 quando i=2). Logo não há igualdade para todos os i>0.

Resposta

F

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