Faça o estudo das funções abaixo.
f(x)=|x-3|+4.

Passo 1

Enunciado: estudar a função f(x)=|x-3|+4.\n
O que o enunciado nos pede (lista de itens a responder no estudo): domínio, imagem (contradomínio possível / conjunto imagem), zeros (raízes), pontos de interseção com os eixos, representação em forma sem valor absoluto (peças), monotonicidade (onde cresce/decresce), extremos (mínimos/máximos), continuidade e diferenciabilidade, esboço/descrição do gráfico e observações úteis (simetrias, inversa quando existir).\n
Informações dadas: a função está dada por f(x)=|x-3|+4. Não há outras informações externas.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e reescrevendo a função em peças (isso é crucial e facilita tudo).\n
Definição do valor absoluto: para qualquer número real t\), \[|t|= \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aqui t=x-3\]. Portanto: \[|x-3|= \begin{cases} x-3, & \text{se } x-3\ge 0\\ (\text{ou seja } x\ge 3),\\[4pt] -(x-3)=3-x, & \text{se } x-3<0\\ (\text{ou seja } x<3). \end{cases}\] Substituindo em \[f obtemos a forma em peças (essa forma é o que você deve decorar: transforma o “absoluto” em retas):
f(x)= \begin{cases} 7-x, & \text{se } x<3,\\[4pt] x+1, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
Observação rápida: em x=3\] ambas as fórmulas dão \(f(3)=4, então as peças coincidem nesse ponto.]

Passo 3

Domínio.\n
Explicação: o valor absoluto está definido para todo x\in\mathbb{R}, e somar 4 não cria restrição. Então o domínio é o conjunto de todos os reais:
\text{Dom } f=\mathbb{R}.

Passo 4

Interceptos com os eixos e zeros (raízes).\n
  • Interseção com o eixo y (tomando x=0):
f(0)=|0-3|+4=3+4=7.
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,7).\n
  • Zeros (resolver f(x)=0):
|x-3|+4=0 \quad\Rightarrow\quad |x-3|=-4.
Mas |x-3|\ge 0 para todo x, então |x-3|=-4 não tem solução real. Portanto não há interseção com o eixo x: nenhum zero.

Passo 5

Imagem (conjunto-valor) da função.\n
Raciocínio didático: como |x-3|\ge 0 para todo x, temos
f(x)=|x-3|+4\ge 0+4=4.
Existe x tal que |x-3|=0 (por exemplo x=3), então o valor 4 é atingido: f(3)=4. Como as expressões em cada ramo são retas com inclinações -1 e +1 que crescem sem limite em módulo conforme |x|\to\infty, f(x) cresce sem limite para cima. Portanto a imagem é o intervalo fechado a partir de 4:
\text{Im } f=[4,\infty).

Passo 6

Monotonicidade (onde a função é crescente/decrescente).\n
Usamos a forma em peças, que são retas simples. Para x<3 temos f(x)=7-x cuja inclinação é -1, logo nessa região a função é estritamente decrescente. Para x>3 temos f(x)=x+1 cuja inclinação é +1, logo nessa região a função é estritamente crescente. No ponto x=3 há mudança de comportamento (vértice). Conclusão:
\text{f é estritamente decrescente em }(-\infty,3)\quad\text{e estritamente crescente em }(3,\infty).é
Em todo \mathbb{R} a função não é monotônica (porque muda de decrescente para crescente em x=3).

Passo 7

Extremos (mínimos/máximos).\n
Como a função decresce até x=3 e depois cresce, x=3 é um ponto de mínimo global. O valor mínimo é
f(3)=4.
Não existe máximo global porque f(x)\to\infty quando |x|\to\infty.

Passo 8

Continuidade e diferenciabilidade.\n
  • Continuidade: cada ramo é uma função linear (contínua) e as duas concordam em x=3 com valor 4. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}.\n
  • Diferenciabilidade: em x\neq 3 cada ramo é linear, portanto diferenciável. Em x=3 as derivadas laterais são diferentes: derivada à esquerda (para x<3) é -1; derivada à direita (para x>3) é +1. Como as derivadas laterais não coincidem, f não é diferenciável em x=3. Resumo:
f \text{ é diferenciável em }(-\infty,3)\cup(3,\infty)\text{ e não diferenciável em }x=3.éáãá

Passo 9

Cálculo das derivadas (para quem gosta de regra):\n
Para x<3, f(x)=7-x então
f'(x)=-1.
Para x>3, f(x)=x+1 então
f'(x)=1.
Em x=3 não existe f'(3) porque os limites laterais da diferença quociente dão valores diferentes.

Passo 10

Simetria e observações adicionais.\n
Verificação de simetria em torno de x=3: para qualquer h,
f(3+h)=|3+h-3|+4=|h|+4=f(3-h).
Portanto a função é simétrica em relação à reta vertical x=3 (é uma “V” centrada em (3,4)).\n
Inversa: a função não é injetora em todo \mathbb{R} (pois valores y\ge 4 são atingidos por dois x's simétricos, exceto y=4). Logo não tem inversa global. Se restringirmos ao ramo direito x\ge 3, então o ramo é bijetivo de [3,\infty) para [4,\infty) e a inversa é f^{-1}(y)=y-1 para y\ge 4. Se restringirmos ao ramo esquerdo x\le 3, a inversa é f^{-1}(y)=7-y para y\ge 4.

Passo 11

Descrição do gráfico (para desenhar na prova, passo a passo):\n
  • Vértice (ponto mínimo) em (3,4).\n
  • Ramo esquerdo: reta com equação y=7-x para x\le 3. Passa por (0,7) e por (2,5).\n
  • Ramo direito: reta com equação y=x+1 para x\ge 3. Passa por (3,4) e por (4,5).\n
  • A forma é um V simétrico em torno de x=3, sem interseção com o eixo x, intercepta o eixo y em (0,7).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\)\n Imagem: \([4,\infty)\)\n Intercepto com \(y\): \((0,7)\)\n Zeros: nenhum\n Forma em peças: \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}7-x, & x<3,\\[4pt] x+1, & x\ge 3,\end{cases}\n
Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,3) e estritamente crescente em (3,\infty)\n
Extremo: mínimo global em x=3 com f(3)=4; sem máximo global\n
Continuidade: contínua em todo \mathbb{R}\n
Diferenciabilidade: diferenciável em (-\infty,3)\cup(3,\infty), não diferenciável em x=3\n
Derivadas: f'(x)=-1 para x<3, f'(x)=1 para x>3\n
Gráfico: V com vértice em (3,4), ramos dados por y=7-x (esquerda) e y=x+1 (direita)\n
Inversa: não existe inversa global; inversas dos ramos são f^{-1}(y)=7-y (ramo esquerdo) e f^{-1}(y)=y-1 (ramo direito), ambas para y\ge 4.]

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