Faça o estudo das funções abaixo.
.
Passo 1
Enunciado: estudar a função
.\n
O que o enunciado nos pede (lista de itens a responder no estudo): domínio, imagem (contradomínio possível / conjunto imagem), zeros (raízes), pontos de interseção com os eixos, representação em forma sem valor absoluto (peças), monotonicidade (onde cresce/decresce), extremos (mínimos/máximos), continuidade e diferenciabilidade, esboço/descrição do gráfico e observações úteis (simetrias, inversa quando existir).\n
Informações dadas: a função está dada por . Não há outras informações externas.
O que o enunciado nos pede (lista de itens a responder no estudo): domínio, imagem (contradomínio possível / conjunto imagem), zeros (raízes), pontos de interseção com os eixos, representação em forma sem valor absoluto (peças), monotonicidade (onde cresce/decresce), extremos (mínimos/máximos), continuidade e diferenciabilidade, esboço/descrição do gráfico e observações úteis (simetrias, inversa quando existir).\n
Informações dadas: a função está dada por
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e reescrevendo a função em peças (isso é crucial e facilita tudo).\n
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
Aqui
obtemos a forma em peças (essa forma é o que você deve decorar: transforma o “absoluto” em retas):
Observação rápida: em
, então as peças coincidem nesse ponto.]
Passo 3
Domínio.\n
Explicação: o valor absoluto está definido para todo , e somar
não cria restrição. Então o domínio é o conjunto de todos os reais:
Explicação: o valor absoluto está definido para todo
Passo 4
Interceptos com os eixos e zeros (raízes).\n
- Interseção com o eixo
(tomando ):
Logo o ponto de interseção com o eixo
é
.\n
- Zeros (resolver
):
Mas
para todo
, então
não tem solução real. Portanto não há interseção com o eixo
: nenhum zero.
Passo 5
Imagem (conjunto-valor) da função.\n
Raciocínio didático: como para todo
, temos
Raciocínio didático: como
Existe
tal que
(por exemplo
), então o valor
é atingido:
. Como as expressões em cada ramo são retas com inclinações
e
que crescem sem limite em módulo conforme
,
cresce sem limite para cima. Portanto a imagem é o intervalo fechado a partir de
:
Passo 6
Monotonicidade (onde a função é crescente/decrescente).\n
Usamos a forma em peças, que são retas simples. Para temos
cuja inclinação é
, logo nessa região a função é estritamente decrescente. Para
temos
cuja inclinação é
, logo nessa região a função é estritamente crescente. No ponto
há mudança de comportamento (vértice). Conclusão:
Usamos a forma em peças, que são retas simples. Para
Em todo
a função não é monotônica (porque muda de decrescente para crescente em
).
Passo 7
Extremos (mínimos/máximos).\n
Como a função decresce até e depois cresce,
é um ponto de mínimo global. O valor mínimo é
Como a função decresce até
Não existe máximo global porque
quando
.
Passo 8
Continuidade e diferenciabilidade.\n
- Continuidade: cada ramo é uma função linear (contínua) e as duas concordam em
com valor . Logo é contínua em todo .\n - Diferenciabilidade: em
cada ramo é linear, portanto diferenciável. Em as derivadas laterais são diferentes: derivada à esquerda (para ) é ; derivada à direita (para ) é . Como as derivadas laterais não coincidem, não é diferenciável em . Resumo:
Passo 9
Cálculo das derivadas (para quem gosta de regra):\n
Para ,
então
Para
Para
,
então
Em
não existe
porque os limites laterais da diferença quociente dão valores diferentes.
Passo 10
Simetria e observações adicionais.\n
Verificação de simetria em torno de : para qualquer
,
Verificação de simetria em torno de
Portanto a função é simétrica em relação à reta vertical
(é uma “V” centrada em
).\n
Inversa: a função não é injetora em todo (pois valores
são atingidos por dois
's simétricos, exceto
). Logo não tem inversa global. Se restringirmos ao ramo direito
, então o ramo é bijetivo de
para
e a inversa é
para
. Se restringirmos ao ramo esquerdo
, a inversa é
para
.
Inversa: a função não é injetora em todo
Passo 11
Descrição do gráfico (para desenhar na prova, passo a passo):\n
- Vértice (ponto mínimo) em
.\n - Ramo esquerdo: reta com equação
para . Passa por e por .\n - Ramo direito: reta com equação
para . Passa por e por .\n - A forma é um V simétrico em torno de
, sem interseção com o eixo , intercepta o eixo em .
Resposta
Domínio:
\n
Monotonicidade: estritamente decrescente em
e estritamente crescente em
\n
Extremo: mínimo global em com
; sem máximo global\n
Continuidade: contínua em todo \n
Diferenciabilidade: diferenciável em , não diferenciável em
\n
Derivadas: para
,
para
\n
Gráfico: V com vértice em , ramos dados por
(esquerda) e
(direita)\n
Inversa: não existe inversa global; inversas dos ramos são (ramo esquerdo) e
(ramo direito), ambas para
.]
Extremo: mínimo global em
Continuidade: contínua em todo
Diferenciabilidade: diferenciável em
Derivadas:
Gráfico: V com vértice em
Inversa: não existe inversa global; inversas dos ramos são