Para x>1 temos uma função racional \dfrac{x^{3}-9 x^{2}+23 x-15}{(2 x-10)(x-3)}.
Para 0\le x\le 1 temos a constante 2.
Para x<0 temos a raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}}.
O que se pede: (1) determinar o conjunto de x onde f está definida (domínio) e (2) descrever como é o gráfico ponto a ponto (cada ramo, continuidade, buracos, pontos incluídos/excluídos).]
Passo 2
Analisar e simplificar a peça racional (x>1). Primeiro fatoro o numerador tentando raízes inteiras possíveis (\pm1,\pm3,\pm5,\pm15). Testando x=3:
3^{3}-9\cdot3^{2}+23\cdot3-15=27-81+69-15=0,
portanto x-3 é fator. Faço divisão sintética (coeficientes 1,-9,23,-15) por 3:
Trazer 1. Multiplicar por 3 dá 3. Soma com -9 dá -6.
Multiplicar -6 por 3 dá -18. Soma com 23 dá 5.
Multiplicar 5 por 3 dá 15. Soma com -15 dá 0.
Logo o quociente é x^{2}-6x+5. Esse trinômio fatora:
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).
Portanto o numerador é
x^{3}-9x^{2}+23x-15=(x-3)(x-1)(x-5).
Passo 3
Continuando a simplificação do ramo x>1: substituo o numerador fatorado na fração
\frac{(x-3)(x-1)(x-5)}{(2x-10)(x-3)}.
Como (x-3) aparece no numerador e denominador, pode-se cancelar desde que x\neq3. Também 2x-10=2(x-5), então há fator (x-5) no denominador; ao cancelar (x-5) com o numerador devemos lembrar que isso só é válido quando x\neq5. Após cancelar (para x\neq3,5) obtemos
\frac{(x-1)}{2}.
Conclusão prática: para x>1 a expressão da peça racional é equivalente a f(x)=\dfrac{x-1}{2}, exceto que os pontos x=3 e x=5 tornam o denominador zero no enunciado original — logo são pontos onde a função NÃO está definida (buracos removíveis). Em termos técnicos: a forma simplificada é \dfrac{x-1}{2} para x>1 com remoção dos pontos x=3 e x=5.
Explicando didaticamente: quando você cancela um fator que é zero em numerador e denominador, isso indica uma descontinuidade removível: a expressão simplificada dá um valor finito naquele x, mas a função original não está definida ali porque o denominador original era zero.
Passo 4
Analisar a peça \sqrt{4-x^{2}} para x<0. A raiz quadrada exige o argumento não-negativo:
4-x^{2}\ge 0 \iff -2\le x\le 2.
Como o ramo vale apenas para x<0, o domínio desta peça é -2\le x<0, ou seja [ -2,0 ). O valor da função é
y=\sqrt{4-x^{2}},
que é a semicircunferência superior do círculo de raio 2 centrado na origem: a equação x^{2}+y^{2}=4 com y\ge0. Aqui estamos pegando apenas a parte com x<0.
Passo 5
Analisar a peça 0\le x\le 1. É simplesmente a constante f(x)=2 em todo o intervalo fechado [0,1]. Isso inclui os pontos x=0 e x=1, com valor 2 nesses pontos.
Passo 6
Agora junto tudo para o domínio total. Reunindo:
Do ramo raiz: [-2,0).
Do ramo constante: [0,1].
Do ramo racional simplificado: (1,\infty) mas excluindo os pontos x=3 e x=5 (pois neles o denominador original era zero).
Unindo os dois primeiros intervalos [-2,0)\cup[0,1]=[-2,1]. Então o domínio completo é
[-2,1]\cup\bigl((1,\infty)\setminus\{3,5\}\bigr).
Uma forma equivalente, mais explícita em intervalos, é
[-2,1]\cup(1,3)\cup(3,5)\cup(5,\infty).
Passo 7
Descrição detalhada do gráfico, peça a peça (com observações sobre continuidade e buracos):
Para -2\le x<0: o gráfico é o arco superior do círculo de raio 2, dado por
y=\sqrt{4-x^{2}},
começando no ponto (-2,0) (incluso) e terminando em x\to0^{-} com y\to2. O ponto (0,2) não vem deste ramo (porque o ramo é x<0), mas veja o próximo item.
Em x=0 e até x=1 (ou seja [0,1]): o gráfico é o segmento horizontal
y=2,
com os pontos (0,2) e (1,2) incluídos (ambos incluídos, pois 0 e 1 estão no intervalo). Observação importante: o limite pela esquerda em x=0 da peça semicircular é 2, e como f(0)=2 pelo ramo constante, o gráfico é contínuo em x=0 (sem salto).
Para x>1: o gráfico é a reta
y=\frac{x-1}{2},
isto é uma reta de coeficiente angular 1/2 e intercepto -\tfrac12, porém com três observações:
O ponto x=1 pertence ao ramo anterior com f(1)=2. A limite à direita em x=1 da reta é \lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x-1}{2}=0. Então há uma descontinuidade em x=1: o ponto (1,2) está no gráfico (do ramo constante) e o ponto (1,0) NÃO está (a reta não atinge x=1 porque a peça é x>1); portanto há um salto vertical entre y=2 e o valor-limite 0.
Nos pontos x=3 e x=5 o enunciado original tinha denominador zero, então apesar da forma simplificada da reta dar valores finitos nesses x (para x=3 a reta daria y=1, para x=5 daria y=2), esses pontos NÃO estão no domínio: são buracos removíveis. Portanto no gráfico aparecem círculos abertos em (3,1) e (5,2).
Para todos os outros x>1 (exceto 3,5) temos pontos na reta y=(x-1)/2. Em particular, imediatamente à direita de 1 a reta assume valores próximos de 0 (mas nunca em x=1 em si).
Resumo visual mental:
Um arco semicircular de (-2,0) até aproximar-se de (0,2) pela esquerda.
O ponto (0,2) ligado por um segmento horizontal até (1,2) (ambos incluídos).
Em x=1 há salto: o valor à direita tende a 0 (ponto (1,0) não está no gráfico), mas o valor em x=1 é (1,2).
Para x>1 uma reta ascendente com inclinação 1/2, com buracos (círculos abertos) em (3,1) e (5,2).
Resposta
Domínio: [-2,1]\cup(1,3)\cup(3,5)\cup(5,\infty).
Gráfico: para -2\le x<0 é o arco superior do círculo x^{2}+y^{2}=4 dado por y=\sqrt{4-x^{2}}; para 0\le x\le1 é o segmento horizontal y=2 (com (0,2) e (1,2) incluídos); para x>1 é a reta y=\dfrac{x-1}{2} com buracos (pontos removidos) em (3,1) e (5,2). Há continuidade em x=0, salto em x=1 (valor f(1)=2 mas limite à direita 0), e buracos em x=3,5.