) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
Para calcular
podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo assim
;
Para calcular
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que, para calcular a integral
, podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo o resultado
. Para isso, vamos revisar o que são substituições trigonométricas e analisar se elas são adequadas para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são substituições trigonométricas. Elas são técnicas usadas para resolver integrais que envolvem expressões quadráticas sob uma raiz, como
,
ou
. Nessas situações, usamos substituições como
,
ou
para simplificar a integral.
Passo 3
Agora, observemos a integral que temos:
. Aqui, a expressão dentro da raiz é
. Diferente das expressões quadráticas tradicionais, temos um termo exponencial
. Isso significa que as substituições trigonométricas padrão não são diretamente aplicáveis, já que elas são projetadas para polinômios em
, não para funções exponenciais.
Passo 4
Em vez disso, uma abordagem mais adequada para resolver essa integral é uma substituição simples. Vamos definir
, o que implica que
ou
. Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Essa nova integral,
, pode ser resolvida usando uma substituição adicional ou técnicas de integração padrão, resultando em:
Passo 6
Portanto, a resposta fornecida está correta, mas não por meio das substituições trigonométricas. Em vez disso, usamos uma substituição exponencial simples para chegar ao resultado.
Resposta
Falso. A integral
não requer substituições trigonométricas. Utilizando uma substituição exponencial, obtemos corretamente
.