1^ a ) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
Para calcular integral d xraiz9+e^2 x podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo assim ln (e^x+raiz9+e^2 x)+C;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que, para calcular a integral integral dxraiz9 + e^2x, podemos usar uma das seis fórmulas de substituição trigonométrica, obtendo o resultado ln (e^x+raiz9+e^2 x) + C. Para isso, vamos revisar o que são substituições trigonométricas e analisar se elas são adequadas para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são substituições trigonométricas. Elas são técnicas usadas para resolver integrais que envolvem expressões quadráticas sob uma raiz, como raiza^2 - x^2, raiza^2 + x^2 ou raizx^2 - a^2. Nessas situações, usamos substituições como x = asintheta, x = atantheta ou x = asectheta para simplificar a integral.

Passo 3

Agora, observemos a integral que temos: integral dxraiz9 + e^2x. Aqui, a expressão dentro da raiz é 9 + e^2x. Diferente das expressões quadráticas tradicionais, temos um termo exponencial e^2x. Isso significa que as substituições trigonométricas padrão não são diretamente aplicáveis, já que elas são projetadas para polinômios em x, não para funções exponenciais.

Passo 4

Em vez disso, uma abordagem mais adequada para resolver essa integral é uma substituição simples. Vamos definir t = e^x, o que implica que dt = e^x dx ou dx = dtt. Substituindo na integral, temos:
integral dxraiz9 + e^2x = integral dttraiz9 + t^2 = integral dttraiz9 + t^2

Passo 5

Essa nova integral, integral dttraiz9 + t^2, pode ser resolvida usando uma substituição adicional ou técnicas de integração padrão, resultando em:
ln (t + raiz9 + t^2) + C = ln (e^x + raiz9 + e^2x) + C

Passo 6

Portanto, a resposta fornecida está correta, mas não por meio das substituições trigonométricas. Em vez disso, usamos uma substituição exponencial simples para chegar ao resultado.

Resposta

Falso. A integral integral dxraiz9 + e^2x não requer substituições trigonométricas. Utilizando uma substituição exponencial, obtemos corretamente ln (e^x+raiz9+e^2 x) + C.

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