4^* ) (Trombeta de Gabriel) A superficie gerada pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da curva y=1x(x >= 1) é conhecida como “Trombeta de Gabriel”. Mostre que:
i. A area da superiıcie e inimita;
ii. O volume do sólido delimitado pela Trombeta de Gabriel é infinito;
iii. Use o item anterior para gerar uma metáfora.
ふugestäo. À área de uma superĩcie de revoiuçao é dada por a(5)= 2 pi integrala^b f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2.

Passo 1

O enunciado define a Trombeta de Gabriel como o sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a curva
y = 1x, x>=1
Precisamos usar duas fórmulas clássicas:
1. Volume por discos:
V = pi integral1^infty l[f(x)r]^2,dx
2. Área de superfície por revolução:
A = 2pi integral1^infty f(x),raiz1 + l[f'(x)r]^2;dx
Em seguida, analisaremos convergência ou divergência desses integrais.

Passo 2

Calcular o volume V. Aqui f(x)=1/x, logo
V = pi integral1^infty 1x^2,dx
Essa integral é propriamente convergente, pois
integral1^infty 1x^2,dx = l[-tfrac1xr]1^infty = 0 - l(-1r) = 1
Portanto
V = pi cdot 1 = pi,
que é finito.

Passo 3

Calcular a área de superfície A. Temos
f'(x) = -1x^2,
logo
raiz1 + l[f'(x)r]^2 = raiz1 + 1x^4 >= raiz1 = 1
Assim
A = 2pi integral1^infty 1x,raiz1+1x^4;dx ;>=; 2pi integral1^infty 1x;dx = 2pi ,l[ln xr]1^infty = infty
Logo a área de superfície diverge (é infinita).

Passo 4

Metáfora: com volume finito pi basta uma quantidade limitada de tinta para encher a trombeta, mas como a área da superfície é infinita, seria preciso tinta infinitamente grande para pintá-la por fora.

Resposta

i. A área da superfície é infinita.
ii. O volume do sólido é finito e vale pi.
iii. Metáfora: “é possível encher a trombeta com quantidade finita de tinta, mas para pintá-la por fora seria necessária tinta infinita.”

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