) (Trombeta de Gabriel) A superficie gerada pela rotação, em torno do eixo das abscissas, da curva
é conhecida como “Trombeta de Gabriel”. Mostre que:
i. A area da superiıcie e inimita;
ii. O volume do sólido delimitado pela Trombeta de Gabriel é infinito;
iii. Use o item anterior para gerar uma metáfora.
ふugestäo. À área de uma superĩcie de revoiuçao é dada por
.
i. A area da superiıcie e inimita;
ii. O volume do sólido delimitado pela Trombeta de Gabriel é infinito;
iii. Use o item anterior para gerar uma metáfora.
Passo 1
O enunciado define a Trombeta de Gabriel como o sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a curva
Precisamos usar duas fórmulas clássicas:
. Volume por discos:
Em seguida, analisaremos convergência ou divergência desses integrais.
Passo 2
Calcular o volume
. Aqui
, logo
Essa integral é propriamente convergente, pois
Portanto
que é finito.
Passo 3
Calcular a área de superfície
. Temos
logo
Assim
Logo a área de superfície diverge (é infinita).
Passo 4
Metáfora: com volume finito
basta uma quantidade limitada de tinta para encher a trombeta, mas como a área da superfície é infinita, seria preciso tinta infinitamente grande para pintá-la por fora.
Resposta
i. A área da superfície é infinita.
ii. O volume do sólido é finito e vale .
iii. Metáfora: “é possível encher a trombeta com quantidade finita de tinta, mas para pintá-la por fora seria necessária tinta infinita.”
ii. O volume do sólido é finito e vale
iii. Metáfora: “é possível encher a trombeta com quantidade finita de tinta, mas para pintá-la por fora seria necessária tinta infinita.”