Nos exercícios 3 e 4 , calcule partial zpartial u e partial zpartial v de dois modos:
(a) Isando a regra da cadeia; b) determinando a função z(u, v) e derivando em relação a u e a v.
z=x^2+y^2, x=u sen v, y=v cos u.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v de duas maneiras:
  • (a) usando a regra da cadeia, sabendo que z = x^2 + y^2, x = usin v e y = vcos u;
  • (b) primeiro escrevendo z como função explícita de u e v e depois derivando.
    O conteúdo envolvido é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia em funções compostas.

Passo 2

Usando a regra da cadeia, escrevemos
partial zpartial u =partial zpartial x,partial xpartial u +partial zpartial y,partial ypartial u, partial zpartial v =partial zpartial x,partial xpartial v +partial zpartial y,partial ypartial v
Como z = x^2 + y^2, temos partial zpartial x=2x e partial zpartial y=2y.
E das definições x = usin v, y = vcos u seguem
partial xpartial u=sin v, partial xpartial v=ucos v, partial ypartial u=-vsin u, partial ypartial v=cos u

Passo 3

Substituindo na regra da cadeia:
partial zpartial u =2xcdotsin v + 2ycdot(-vsin u) =2xsin v - 2y,vsin u,
partial zpartial v =2xcdot(ucos v) + 2ycdotcos u =2u,xcos v + 2ycos u
Se quisermos em termos de u,v, basta pôr x=usin v e y=vcos u:
partial zpartial u =2usin^2v - 2v^2sin ucos u, partial zpartial v =2u^2sin vcos v + 2vcos^2u

Passo 4

Agora determinamos z(u,v) explicitamente:
z(u,v) = (usin v)^2 + (vcos u)^2 = u^2sin^2v + v^2cos^2u

Passo 5

Derivamos diretamente essa expressão:
Para partial zpartial u a primeira parcela u^2sin^2v 2usin^2v e a segunda v^2cos^2u
ddul(v^2cos^2ur) =v^2cdot 2cos ucdot(-sin u) =-2v^2sin ucos u
Logo
partial zpartial u =2usin^2v - 2v^2sin ucos u
Para partial zpartial v, a primeira parcela dá
ddvl(u^2sin^2vr) =u^2cdot 2sin vcos v =2u^2sin vcos v
e a segunda parcela v^2cos^2u 2vcos^2u. Logo
partial zpartial v =2u^2sin vcos v + 2vcos^2u

Resposta

(a) Pela regra da cadeia:
partial zpartial u =2usin^2v - 2v^2sin ucos u, partial zpartial v =2u^2sin vcos v + 2vcos^2u
(b) Diretamente de z(u,v)=u^2sin^2v + v^2cos^2u:
partial zpartial u =2usin^2v - 2v^2sin ucos u, partial zpartial v =2u^2sin vcos v + 2vcos^2u

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