Nos exercícios 3 e 4 , calcule
e
de dois modos:
(a) Isando a regra da cadeia; b) determinando a função
e derivando em relação a
e a
.
.
(a) Isando a regra da cadeia; b) determinando a função
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
de duas maneiras:
- (a) usando a regra da cadeia, sabendo que
, e ; - (b) primeiro escrevendo
como função explícita de e e depois derivando.
O conteúdo envolvido é derivada parcial e aplicação da regra da cadeia em funções compostas.
Passo 2
Usando a regra da cadeia, escrevemos
Como
, temos
e
.
E das definições ,
seguem
E das definições
Passo 3
Substituindo na regra da cadeia:
Se quisermos em termos de
, basta pôr
e
:
Passo 4
Agora determinamos
explicitamente:
Passo 5
Derivamos diretamente essa expressão:
Para a primeira parcela
dá
e a segunda
dá
Para
Logo
Para
, a primeira parcela dá
e a segunda parcela
dá
. Logo
Resposta
(a) Pela regra da cadeia:
(b) Diretamente de
: