Mostre que f é contínua em (-infty, infty).
f(x)=ccx^2 & se x<1 raizx & se x >= 1

Passo 1

Resumindo o problema: temos a função
f(x)= x^2, & se x<1, raizx, & se x>= 1
O objetivo é mostrar que f é contínua em ( -infty,infty). Vamos usar que polinômios e a função raiz quadrada são contínuos em seus domínios e depois verificar o ponto de transição x=1.

Passo 2

Para x<1, temos f(x)=x^2, e sabe-se que polinômios são contínuos em R. Para x>1, temos f(x)=raizx, e a função raiz quadrada é contínua em (0,infty). Logo, f é contínua em ( -infty,1) e em (1,infty).

Passo 3

Agora verificamos a continuidade em x=1. Calculamos os limites laterais e comparamos com o valor da função:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+raizx=1,
e temos f(1)=raiz1=1. Como ambos os limites coincidem entre si e com f(1), concluímos que f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em ( -infty,infty).

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