1^ a ) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
É possível calcular integral tg^-1 x d x usando integração por partes.

Passo 1

Então, o enunciado quer saber se é possível calcular a integral de arctangente de x, ou seja, integral tan^-1 x , dx, usando o método de integração por partes. Vamos precisar entender como funciona a integração por partes e ver se ela se aplica nessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É um método que usamos quando temos uma integral que é o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe qual das funções vai ser u e qual vai ser dv.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa integral integral tan^-1 x , dx, vamos escolher:
  • u = tan^-1 x (porque a derivada de arctangente é simples)
  • dv = dx (assim, a integral de dv é fácil)

Passo 4

Vamos calcular du e v:
  • du = 11 + x^2 , dx
  • v = integral dv = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral tan^-1 x , dx = u , v - integral v , du = x cdot tan^-1 x - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 6

A integral que sobrou agora é integral x1 + x^2 , dx. Isso pode ser simplificado com uma substituição simples:
Seja w = 1 + x^2, então dw = 2x , dx, ou seja, dw2 = x , dx.
Então,
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln |w| + C = 12 ln (1 + x^2) + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral tan^-1 x , dx = x cdot tan^-1 x - 12 ln (1 + x^2) + C

Resposta

Verdadeiro. É possível calcular integral tan^-1 x , dx usando integração por partes.

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