) Assinale verdadeiro ou falso, justificando ou dando um contraexemplo, respectivamente.
É possível calcular
usando integração por partes.
É possível calcular
Passo 1
Então, o enunciado quer saber se é possível calcular a integral de arctangente de x, ou seja,
, usando o método de integração por partes. Vamos precisar entender como funciona a integração por partes e ver se ela se aplica nessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É um método que usamos quando temos uma integral que é o produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe qual das funções vai ser u e qual vai ser dv.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa integral
, vamos escolher:
-
(porque a derivada de arctangente é simples) -
(assim, a integral de dv é fácil)
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 6
A integral que sobrou agora é
. Isso pode ser simplificado com uma substituição simples:
Seja
, então
, ou seja,
.
Então,
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
Verdadeiro. É possível calcular
usando integração por partes.