2^a) Obtenha as integrais abaixo.
integral cos ^3 x sen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo integral, mais especificamente de integração de funções trigonométricas. Precisamos encontrar a integral de cos^3 x cdot sin 2x , dx. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica que simplifica a integral tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin 2x usando a identidade trigonométrica conhecida como a fórmula do ângulo duplo:
sin 2x = 2 sin x cos x
Então, substituindo na integral, temos:
integral cos^3 x cdot sin 2x , dx = integral cos^3 x cdot 2 sin x cos x , dx
Isso simplifica para:
2 integral cos^4 x cdot sin x , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = cos x. Assim, a derivada de u em relação a x é:
du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx
Substituindo na integral, temos:
2 integral u^4 cdot (-du) = -2 integral u^4 , du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^4:
-2 integral u^4 , du = -2 cdot ( u^55 ) + C = -25 u^5 + C
Lembrando que u = cos x, substituímos de volta:
-25 cos^5 x + C

Resposta

A integral de cos^3 x cdot sin 2x , dx é:
-25 cos^5 x + C

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