Assinale Verdadeiro ou Falso, JUSTIFICANDO: O núcleo de toda transformação linear T: R^5 R^3 tem dimensão maior ou igual a 3 .

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação: “O núcleo de toda transformação linear tem dimensão maior ou igual a 3.” Aqui, estamos lidando com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o teorema da dimensão, também conhecido como Teorema da Dimensão ou Teorema da Classificação das Transformações Lineares.

Passo 2

O Teorema da Dimensão diz que para qualquer transformação linear dim(V) = dim(ker T) + dim(Im, T) , onde e são espaços vetoriais finitamente dimensionais, a dimensão de é igual à soma da dimensão do núcleo de ( ) e da dimensão da imagem de ( ). Matemáticamente, isso é escrito como:

Passo 3

No nosso caso, e . Sabemos que e . A imagem de não pode ter dimensão maior que , ou seja, .

Passo 4

Aplicando o Teorema da Dimensão:
5 = dim(ker T) + dim(Im, T)
Como dim(ker T) >= 5 - 3 = 2 , ent��o:
Portanto, a dimensão do núcleo de é pelo menos 2.

Passo 5

A afirmação original diz que a dimensão do núcleo é maior ou igual a 3. Mas, conforme mostramos, a dimensão mínima é 2, podendo ser maior dependendo da transformação. Porém, não é garantido que seja sempre pelo menos 3.

Resposta

Falso. O núcleo tem dimensão pelo menos 2, não necessariamente maior ou igual a 3.

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