Assinale Verdadeiro ou Falso, JUSTIFICANDO: O núcleo de toda transformação linear
tem dimensão maior ou igual a 3 .
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação: “O núcleo de toda transformação linear
tem dimensão maior ou igual a 3.” Aqui, estamos lidando com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar o teorema da dimensão, também conhecido como Teorema da Dimensão ou Teorema da Classificação das Transformações Lineares.
Passo 2
O Teorema da Dimensão diz que para qualquer transformação linear
, onde
e
são espaços vetoriais finitamente dimensionais, a dimensão de
é igual à soma da dimensão do núcleo de
(
) e da dimensão da imagem de
(
). Matemáticamente, isso é escrito como:
Passo 3
No nosso caso,
e
. Sabemos que
e
. A imagem de
não pode ter dimensão maior que
, ou seja,
.
Passo 4
Aplicando o Teorema da Dimensão:
Como
, ent��o:
Portanto, a dimensão do núcleo de
é pelo menos 2.
Passo 5
A afirmação original diz que a dimensão do núcleo é maior ou igual a 3. Mas, conforme mostramos, a dimensão mínima é 2, podendo ser maior dependendo da transformação. Porém, não é garantido que seja sempre pelo menos 3.
Resposta
Falso. O núcleo tem dimensão pelo menos 2, não necessariamente maior ou igual a 3.