Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares. O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
definida por:
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, e como encontrar bases para eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:
Isso dá duas equações:
Nota que a segunda equação é igual a 4 vezes a primeira, então na verdade temos apenas uma equação independente:
Passo 3
Agora, vamos resolver
para expressar uma variável em termos das outras. Vamos resolver para
:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores
e
.
Passo 4
Assim, uma base para o núcleo de
é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 2.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os vetores que
pode produzir. Observando a transformação:
Podemos ver que a segunda componente é sempre 4 vezes a primeira. Então, qualquer vetor na imagem tem a forma:
Isso significa que a imagem é gerada pelo vetor
.
Passo 6
Portanto, uma base para a imagem de
é:
A dimensão da imagem é 1, já que temos apenas um vetor na base.
Resposta
- Base do núcleo:
- Dimensão do núcleo: 2
- Base da imagem:
- Dimensão da imagem: 1