Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares: T(x, y, z)=(x+y+z, 4 x+4 y+4 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformações lineares. O enunciado pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T(x, y, z) = (x + y + z, 4x + 4y + 4z) definida por:
Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, e como encontrar bases para eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de T(x, y, z) = (0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores x + y + z = 0 4x + 4y + 4z = 0 que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos resolver:
x + y + z = 0
Isso dá duas equações:
Nota que a segunda equação é igual a 4 vezes a primeira, então na verdade temos apenas uma equação independente:

Passo 3

Agora, vamos resolver z = -x - y para expressar uma variável em termos das outras. Vamos resolver para (x, y, z) = (x, y, -x - y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1) :
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores e .

Passo 4

Assim, uma base para o núcleo de , (1, 0, -1), (0, 1, -1) , é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de T(x, y, z) = (x + y + z, 4x + 4y + 4z) . A imagem é o conjunto de todos os vetores que (a, 4a) pode produzir. Observando a transformação:
Podemos ver que a segunda componente é sempre 4 vezes a primeira. Então, qualquer vetor na imagem tem a forma:
Isso significa que a imagem é gerada pelo vetor .

Passo 6

Portanto, uma base para a imagem de , (1, 4) , é:
A dimensão da imagem é 1, já que temos apenas um vetor na base.

Resposta

  • Base do núcleo:
  • Dimensão do núcleo: 2
  • Base da imagem:
  • Dimensão da imagem: 1

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