Determine o núcleo das transformações lineares abaixo: T(x, y)=(8 x+8 y, x+y)

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear e precisa descobrir o núcleo dessa transformação. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo. Queremos encontrar todos os pares 8x + 8y = 0 que satisfazem x + y = 0 . Ou seja, precisamos resolver as seguintes equações:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações. Observamos que a segunda equação x = -y nos dá uma relação direta entre e . Podemos expressar em função de :

Passo 4

Agora, substituímos 8(-y) + 8y = 0 na primeira equação:
-8y + 8y = 0
0 = 0
Isso significa que a primeira equação não traz nenhuma informação nova; ela é sempre verdadeira para qualquer quando .

Passo 5

Então, todas as soluções do sistema são da forma Núc<=o(T) = , (x, y) in R^2 mid x = -y , . Podemos expressar o núcleo como:
Núc<=o(T) = , (-t, t) mid t in R , ú
Ou, de forma mais simples, usando um parâmetro:
ú

Resposta

O núcleo da transformação linear Núc<=o(T) = , (-t, t) mid t in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras:
ú

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