Determine o núcleo das transformações lineares abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação linear
e precisa descobrir o núcleo dessa transformação. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicados na transformação, resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo. Queremos encontrar todos os pares
que satisfazem
. Ou seja, precisamos resolver as seguintes equações:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações. Observamos que a segunda equação
nos dá uma relação direta entre
e
. Podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Agora, substituímos
na primeira equação:
Isso significa que a primeira equação não traz nenhuma informação nova; ela é sempre verdadeira para qualquer
quando
.
Passo 5
Então, todas as soluções do sistema são da forma
. Podemos expressar o núcleo como:
Ou, de forma mais simples, usando um parâmetro:
Resposta
O núcleo da transformação linear
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em outras palavras: