Assinale Verdadeiro ou Falso, JUSTIFICANDO: Uma transformação linear T: V W é sobrejetora se, e somente se, dim N(T)= dim(V)-dim(W)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a afirmação “Uma transformação linear T: V W é sobrejetora se, e somente se, dim N(T) = dim(V) - dim(W)” é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é Transformações Lineares e Teorema do Núcleo e da Imagem. Vamos precisar entender o que são transformação sobrejetora, núcleo de uma transformação e como a dimensão deles se relaciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação T é sobrejetora se, para todo elemento w no espaço W, existe pelo menos um elemento v no espaço V tal que T(v) = w. Ou seja, a imagem de T cobre todo o espaço W.

Passo 3

Agora, o núcleo de T, denotado por N(T), é o conjunto de todos os vetores v em V que são mapeados para o vetor zero em W. A dimensão do núcleo ( dim N(T)) nos dá uma ideia de quantos vetores estão “se perdendo” na transformação.

Passo 4

Aqui entra o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que:
dim(V) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
Onde Im(T) é a imagem de T. Se T é sobrejetora, então a imagem de T é igual a W, ou seja, dim(Im(T)) = dim(W). Substituindo isso na equação do teorema, temos:
dim(V) = dim(N(T)) + dim(W)
Rearranjando para encontrar dim(N(T)):
dim(N(T)) = dim(V) - dim(W)
Isso mostra que se T é sobrejetora, então dim(N(T)) = dim(V) - dim(W).

Passo 5

Agora, precisamos pensar no “se e somente se”. Ou seja, não só se T for sobrejetora, então a relação de dimensões vale, mas também se a relação de dimensões vale, então T é sobrejetora. Pelo teorema do núcleo e da imagem, se dim(N(T)) = dim(V) - dim(W), então dim(Im(T)) = dim(W), o que significa que a imagem de T é todo o W, ou seja, T é sobrejetora.

Resposta

A afirmação é Verdadeira.

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