Assinale Verdadeiro ou Falso, JUSTIFICANDO: Uma transformação linear
é sobrejetora se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a afirmação “Uma transformação linear
é sobrejetora se, e somente se,
” é verdadeira ou falsa. A matéria envolvida aqui é Transformações Lineares e Teorema do Núcleo e da Imagem. Vamos precisar entender o que são transformação sobrejetora, núcleo de uma transformação e como a dimensão deles se relaciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação
é sobrejetora se, para todo elemento
no espaço
, existe pelo menos um elemento
no espaço
tal que
. Ou seja, a imagem de
cobre todo o espaço
.
Passo 3
Agora, o núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. A dimensão do núcleo (
) nos dá uma ideia de quantos vetores estão “se perdendo” na transformação.
Passo 4
Aqui entra o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz que:
Onde
é a imagem de
. Se
é sobrejetora, então a imagem de
é igual a
, ou seja,
. Substituindo isso na equação do teorema, temos:
Rearranjando para encontrar
:
Isso mostra que se
é sobrejetora, então
.
Passo 5
Agora, precisamos pensar no “se e somente se”. Ou seja, não só se
for sobrejetora, então a relação de dimensões vale, mas também se a relação de dimensões vale, então
é sobrejetora. Pelo teorema do núcleo e da imagem, se
, então
, o que significa que a imagem de
é todo o
, ou seja,
é sobrejetora.
Resposta
A afirmação é Verdadeira.