Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear bijetora. Mostre que T leva retas em retas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que uma transformação linear bijetora leva retas em retas. Isso está dentro do conteúdo de Transformações Lineares em Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa ser bijetora e como as retas são definidas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) em e para qualquer escalar , valem:
Isso significa que preserva operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre bijetividade. Uma transformação é bijetora se ela é injetora (cada elemento do domínio vai para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio). Isso garante que tem uma inversa, ou seja, podemos voltar atrás.

Passo 4

Para mostrar que x = a + tb leva retas em retas, vamos considerar uma reta qualquer no domínio. Uma reta em pode ser descrita pela equação:
onde é um ponto na reta, é um vetor direcional, e é um parâmetro real.

Passo 5

Aplicando a transformação T(x) = T(a + tb) na equação da reta, temos:
T(x) = T(a) + tT(b)
Pela linearidade de , isso fica:
Observe que é um ponto no contradomínio e é o vetor direcional transformado.

Passo 6

A nova equação após a transformação é:
y = T(a) + tT(b)
Isso tem exatamente a forma de uma reta em , com como ponto inicial e como vetor direcional. Portanto, a imagem de uma reta sob continua sendo uma reta.

Resposta

Assim, mostramos que qualquer reta em é transformada em outra reta por uma transformação linear bijetora .

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