Seja
uma transformação linear bijetora. Mostre que
leva retas em retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que uma transformação linear bijetora
leva retas em retas. Isso está dentro do conteúdo de Transformações Lineares em Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que significa ser bijetora e como as retas são definidas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e para qualquer escalar
, valem:
Isso significa que
preserva operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre bijetividade. Uma transformação é bijetora se ela é injetora (cada elemento do domínio vai para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio). Isso garante que
tem uma inversa, ou seja, podemos voltar atrás.
Passo 4
Para mostrar que
leva retas em retas, vamos considerar uma reta qualquer no domínio. Uma reta em
pode ser descrita pela equação:
onde
é um ponto na reta,
é um vetor direcional, e
é um parâmetro real.
Passo 5
Aplicando a transformação
na equação da reta, temos:
Pela linearidade de
, isso fica:
Observe que
é um ponto no contradomínio e
é o vetor direcional transformado.
Passo 6
A nova equação após a transformação é:
Isso tem exatamente a forma de uma reta em
, com
como ponto inicial e
como vetor direcional. Portanto, a imagem de uma reta sob
continua sendo uma reta.
Resposta
Assim, mostramos que qualquer reta em
é transformada em outra reta por uma transformação linear bijetora
.