Assínale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um contraexemplo, quando falso.
integral tg^-1 x d x=1x^2+1+C(V)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral tan^-1x,dx = 1x^2+1 + C
é uma igualdade verdadeira ou falsa.
O conteúdo envolvido é cálculo de integral indefinida de tan^-1x, que se resolve normalmente por integração por partes.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = tan^-1x, dv = dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = integral dv = x

Passo 3

Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
temos
integral tan^-1x,dx = x,tan^-1x - integral xcdot11+x^2,dx

Passo 4

Para a integral remanescente usamos a substituição t=1+x^2, dt=2x,dx, logo
integral x1+x^2,dx = 12integral dtt = 12lnl(1+x^2r)
Assim
integral tan^-1x,dx = x,tan^-1x - 12lnl(1+x^2r) + C

Passo 5

A primitiva correta de tan^-1x não é tfrac11+x^2+C.
Como contraexemplo, considere a função proposta
F(x)=11+x^2
Então
F'(x) = -2x(1+x^2)^2 neq tan^-1x,
logo F não é primitiva de tan^-1x, e a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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