Calcule a integsal tripla: integral0^raiz2 / 2 integral0^pi / 2 integral0^1 e^z cdot cos xraiz1-y^2 d z d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla:
integral0^raiz22 integral0^pi2 integral0^1 e^z cdot cos xraiz1 - y^2 , dz , dx , dy
Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como separar e calcular cada parte dessa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a integral está organizada na ordem dz , depois dx e por último dy . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a z , depois a x e, por fim, a y .
Além disso, o integrando pode ser separado em partes que dependem apenas de uma variável. Isso facilita bastante a resolução!

Passo 3

Vamos separar a integral tripla em três integrais simples:
( integral0^1 e^z , dz ) cdot ( integral0^pi2 cos x , dx ) cdot ( integral0^raiz22 1raiz1 - y^2 , dy )
Cada uma dessas integrais agora pode ser resolvida de forma independente.

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 e^z , dz
A integral de e^z em relação a z é e^z . Avaliando de 0 a 1:
e^1 - e^0 = e - 1

Passo 5

Agora, a segunda integral:
integral0^pi2 cos x , dx
A integral de cos x em relação a x é sin x . Avaliando de 0 a pi2 :
sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 6

Por fim, a terceira integral:
integral0^raiz22 1raiz1 - y^2 , dy
Essa é a integral da função 1raiz1 - y^2 , que é conhecida como a derivada de arcsin y . Então:
arcsin y |0^raiz22 = arcsin(raiz22) - arcsin(0) = pi4 - 0 = pi4

Resposta

Multiplicando os resultados das três integrais:
(e - 1) cdot 1 cdot pi4 = (e - 1)pi4
Então, o valor da integral tripla é:
(e - 1)pi4

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