Assínale verdadeiro ou falso. Justificando, quando verdadeiro, e dando um contraexemplo, quando falso.
dd x integrala^b f(x) d x=f(x), se f(x) é contínua; (V)

Passo 1

O enunciado afirma que, para função contínua f, vale
ddxintegrala^bf(x),dx = f(x)
O que precisamos é entender como o Teorema Fundamental do Cálculo se aplica quando os limites de integração são constantes ou dependem da variável.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, diz que, se definirmos
F(x) = integrala^xf(t),dt,
então
F'(x) = ddxintegrala^xf(t),dt = f(x)
Note porém que na integral
integrala^bf(x),dx
os limites a e b são constantes fixas. Logo essa integral é um número (constante), não depende de x. Portanto, sua derivada é
ddxintegrala^bf(x),dx = 0,
e não f(x).

Passo 3

Contraexemplo concreto. Tome f(x)=x e a=0, b=1. Então
integral0^1x,dx = 12,
um valor constante, e
ddxintegral0^1x,dx = ddx!l(tfrac12r) = 0 neq x = f(x)
Isso mostra que a igualdade proposta não é verdadeira.

Resposta

Falso.

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