Em cada caso, mude de coordenadas cartesianas para coordenadas. esféricas, e calcule a integral tripla iterada dada:
integral-2^2 integral0^raiz4-y^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 zraizx^2+y^2 d z d x d y ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integraly=-2^2integralx=0^raiz4-y^2integralz=0^raiz4-x^2-y^2zraizx^2+y^2,dz,dx,dy
trocando de coordenadas cartesianas (x,y,z) para coordenadas esféricas (rho,phi,theta). Vamos usar as fórmulas
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o jacobiano
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Interpretar a região de integração em esféricas. No cartesianas temos
  • x^2+y^2<=4 e x>=0, logo rhosinphi>=0 e rhosinphi<=2.
  • z>=0 e x^2+y^2+z^2<=4, ou seja rho<=2 e phiin[0,pi/2].
  • x>=0 significa costheta>=0, isto é thetain[-tfracpi2,tfracpi2].
Portanto os limites são
0<=rho<=2, 0<=phi<=pi2, -pi2<=theta<=pi2

Passo 3

Transformar o integrando e multiplicar pelo jacobiano. Temos
zraizx^2+y^2 = rhocosphirhosinphi = cotphi,
e
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Logo o produto é
zraizx^2+y^2,dV = cotphi;rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta = rho^2cosphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Escrever a integral em esféricas:
integraltheta=-pi2^pi2 integralphi=0^pi2 integralrho=0^2 rho^2cosphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 5

Calcular iteradamente:
  1. Integral em rho:
integral0^2rho^2,drho = 2^33 = 83
  1. Integral em phi:
integral0^pi2cosphi,dphi = l[sinphir]0^pi2 = 1
  1. Integral em theta:
integral-pi2^pi2dtheta = pi
Multiplicando tudo, obtemos
83times 1times pi = 8pi3

Resposta

8pi3

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