Use coosdenadas esféricas para mostrar que:
integral-infty^infty integral-infty^infty integral-infty^infty raizx^2+y^2+z^2 e^-(x^2+y^2+z^2) d z d y d x=2 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral-infty^infty!!integral-infty^infty!!integral-infty^infty raizx^2+y^2+z^2;e^-l(x^2+y^2+z^2r),dz,dy,dx
usando coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é mudança de variável para coordenadas esféricas e separação de variáveis em integrais múltiplas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinthetacosphi, y = rsinthetasinphi, z = rcostheta,
com r>=0, thetain[0,pi] e phiin[0,2pi]. Além disso o elemento de volume vira
dx,dy,dz = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi,
e raizx^2+y^2+z^2 = r.

Passo 3

Substituindo no integral original, fica
I = integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^infty l(rr),e^-r^2;r^2sintheta;dr,dtheta,dphi =integral0^2pidphi;integral0^pisintheta,dtheta;integral0^inftyr^3e^-r^2,dr

Passo 4

Calculamos cada fator separadamente:
integral0^2pidphi = 2pi, integral0^pisintheta,dtheta = 2,
e para a parte radial fazemos a substituição u=r^2implies du=2r,dr, logo
integral0^inftyr^3e^-r^2,dr =integral0^inftyr^2,r,e^-r^2,dr =tfrac12integral0^inftyu,e^-u,du =tfrac12Gamma(2) =tfrac12cdot1! =tfrac12

Passo 5

Multiplicando os três resultados:
I = l(2pir)times 2times tfrac12 = 2pi

Resposta

2pi

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