Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
(a) ( ) Dada a equação d yd x=e^2 x+(1+2 e^x) y+y^2 e sabendo que y1=-e^x, uma outra solução para esta equação será y=-e^x+e^xC-e^x, onde C é uma constante arbitrária.
(b) ( ) Para que a EDO(1x sen(x y)+y cos (x y)) d x+x cos (x y) d y=0 seja exata, o fator integrante deve ser mu(x)=-x.
(c) ( ) Para que a equação diferencial d yd x=x-ya x-y^2 seja exata, é preciso que a=-1.
(d) ( ) Dependendo de como a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 for escrita, esta pode resolvida como uma EDO Exata ou como uma EDO Linear.
(e) ( ) Ao resolver a equação d yd x=x+yx-y, fazendo a substituição y=u x, se obterá uma outra EDO, sendo esta última possível de resolver por separação de variáveis.
(f) ( ) Considere a equação d yd x-3 y=0. Ao multiplicá-la por e^-3 x é possível escrever a equação do lado esquerdo da igualdade, como a derivada de um produto.
(g) ( ) Para que (x y^2+b x^2 y) d x+(x^3+x^2 y) d y=0 seja uma edo exata, é preciso que b=0.
(h) ( ) Considere a equação d yd x+2 y=0. Ao multiplicá-la por e^2 x é possível escrever a equação do lado esquerdo da igualdade, como a derivada de um produto.
(i) ( ) A solução da equação x e^-y sen(x) d x-y d y=0 é dada por -x cos (x)+sen(x)= e^y(y-1).
(j) ( ) À respeito do método de resolução, a equação d yd x=-e^x-y não é possível resolvê-la por variáveis separáveis.
(k) ( ) A equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 pode ser reescrita, de tal forma que se torne uma EDO Exata.
(l) ( ) Para resolver a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja mu(x)=e^x.
(m) ( ) Dada uma equação de Ricatti do tipo d yd x=P(x)+Q(x) y+R(x) y^2, para resolvê-la é preciso: ter uma solução particular y1; fazer uma mudança de variável e chegar em uma equação de Bernoulli; fazer uma segunda mudança de variável e chegar em uma EDO linear de primeira ordem, para então ser resolvida, e depois substituir as devidas variáveis.
(n) ( ) Dada uma equação de Ricatti do tipo d yd x=P(x)+Q(x) y+R(x) y^2, na mudança de variável da equação de Bernoulli, sempre será considerado w=u^-1, onde u é a solução procurada.
(o) ( ) À respeito do método de resolução, a equação d yd x=e^x+y é possível resolvê-la por variáveis separáveis.
§ ( ) Uma equação de Bernoulli é da forma d yd x+P(x) y=f(x) y^n, para n sendo um número real. Mas se n=0 ou n=1, tal equação pode ser resolvida como uma EDO linear de primeira ordem.
(q) ( ) Para se resolver uma equação de Bernoulli, que é da forma d yd x+P(x) y=f(x) y^n, para n sendo um número real, se faz uma mudança de variável que vai resultar em uma edo linear de primeira ordem.
® ( ) Considere a equação d yd x-5 y=0. Ao multiplicá-la por e^-5 x é possível escrever a equação do lado esquerdo da igualdade, como a derivada de um produto.
(s) ( ) Para resolver a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja mu(x)=1+e^x.
(t) ( ) Para resolver a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja mu(x)=ln (1+e^x).

Passo 1

O exercício pede pra gente dizer se cada afirmação sobre métodos de resolução de EDO é verdadeira ou falsa, justificando apenas os métodos envolvidos (exata, linear, Bernoulli, Riccati, separável etc.). Não precisamos resolver as EDOs em si, só identificar o método e conferir se a afirmação bate.

Passo 2

Pra equações de Riccati do tipo y' = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2, o procedimento é: conhecer uma solução particular y1; fazer y = y1 + u e obter uma EDO de Bernoulli em u; depois usar w = u^-1 e chegar a uma EDO linear de 1ª ordem. Isso vale para as afirmações (a), (m) e (n). Em (a) o cálculo mostra que, de fato, com y1=-e^x a solução geral é y=-e^x+e^x/(C-e^x), logo (a) é verdadeira. As descrições em (m) e (n) do método Riccati também estão corretas, logo são verdadeiras.

Passo 3

Para as afirmações (b), (c) e (g) usamos o teste de exatidão de M(x,y),dx+N(x,y),dy=0: comparamos partial M/partial y e partial N/partial x. Se não batem, buscamos um fator integrante mu(x) tal que mu M,dx+mu N,dy seja exata, e usamos mu'/mu=(partial M/partial y-partial N/partial x)/N. Fazendo isso dá mu=x em (b), não -x, logo (b) é falsa. Na (c) o critério exato dá a=1, e não -1, então (c) é falsa. Em (g) o teste exato pede b=3, não 0, logo (g) é falsa.

Passo 4

Na afirmação (i) tentam dizer que a solução de x e^-ysen x,dx-y,dy=0 é -xcos x+sen x=e^y(y-1). Ao testar exatidão vemos que não bate e o fator integrante não leva a essa forma, então (i) é falsa.

Passo 5

Para (e), (j) e (o) olhamos pra separabilidade. Em (e) ao fazer y=ux transformamos numa EDO homogênea que vira x,du/dx=(1+u^2)/(1-u), perfeitamente separável. Logo (e) é verdadeira. Em (j) e (o), as EDOs y'=-e^x-y e y'=e^x+y separam como e^y,dy=-e^x,dx e e^-y,dy=e^x,dx, ambas separáveis, então em (j) a afirmação “não é possível” é falsa, e em (o) dizer que é possível é verdadeira.

Passo 6

A equação (1+e^x)y'+e^x y=0 aparece em (d), (k), (l), (s) e (t). Se a gente reescrever como M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 com M=e^x y e N=1+e^x, dá partial M/partial y=partial N/partial x=e^x, então ela é exata e (k) é verdadeira. Como equação linear na forma y'+P(x)y=0 com P(x)=e^x/(1+e^x), o fator integrante é mu=e^integral P,dx=1+e^x, logo (s) é verdadeira, mas (l) e (t) estão errados. Também (d) diz que dependendo de como se escrever dá pra tratar como exata ou linear, o que é verdade. As afirmações (f), (h) e ® sobre y'-3y=0, y'+2y=0 e y'-5y=0 multiplicadas por e^-3x, e^2x e e^-5x viram d(ye^-3x)/dx=0, d(ye^2x)/dx=0 e d(ye^-5x)/dx=0, todas verdadeiras.

Passo 7

Por fim, para equações de Bernoulli y'+P(x)y=f(x)y^n com nneq0,1 a mudança w=y^1-n leva a uma EDO linear de 1ª ordem. Se n=0 ou n=1, a EDO já é linear. Isso faz § e (q) verdadeiras.

Resposta

(a) V; (b) F; (c) F; (d) V; (e) V; (f) V; (g) F; (h) V; (i) F; (j) F; (k) V; (l) F; (m) V; (n) V; (o) V; § V; (q) V; ® V; (s) V; (t) F

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