Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
(a) ( ) Dada a equação
e sabendo que
, uma outra solução para esta equação será
, onde
é uma constante arbitrária.
(b) ( ) Para que a
seja exata, o fator integrante deve ser
.
(c) ( ) Para que a equação diferencial
seja exata, é preciso que
.
(d) ( ) Dependendo de como a equação
for escrita, esta pode resolvida como uma EDO Exata ou como uma EDO Linear.
(e) ( ) Ao resolver a equação
, fazendo a substituição
, se obterá uma outra EDO, sendo esta última possível de resolver por separação de variáveis.
(f) ( ) Considere a equação
. Ao multiplicá-la por
é possível escrever a equação do lado esquerdo da igualdade, como a derivada de um produto.
(g) ( ) Para que
seja uma edo exata, é preciso que
.
(h) ( ) Considere a equação
. Ao multiplicá-la por
é possível escrever a equação do lado esquerdo da igualdade, como a derivada de um produto.
(i) ( ) A solução da equação
é dada por
.
(j) ( ) À respeito do método de resolução, a equação
não é possível resolvê-la por variáveis separáveis.
(k) ( ) A equação
pode ser reescrita, de tal forma que se torne uma EDO Exata.
(l) ( ) Para resolver a equação
como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja
.
(m) ( ) Dada uma equação de Ricatti do tipo
, para resolvê-la é preciso: ter uma solução particular
; fazer uma mudança de variável e chegar em uma equação de Bernoulli; fazer uma segunda mudança de variável e chegar em uma EDO linear de primeira ordem, para então ser resolvida, e depois substituir as devidas variáveis.
(n) ( ) Dada uma equação de Ricatti do tipo
, na mudança de variável da equação de Bernoulli, sempre será considerado
, onde
é a solução procurada.
(o) ( ) À respeito do método de resolução, a equação
é possível resolvê-la por variáveis separáveis.
§ ( ) Uma equação de Bernoulli é da forma
, para
sendo um número real. Mas se
ou
, tal equação pode ser resolvida como uma EDO linear de primeira ordem.
(q) ( ) Para se resolver uma equação de Bernoulli, que é da forma
, para
sendo um número real, se faz uma mudança de variável que vai resultar em uma edo linear de primeira ordem.
® ( ) Considere a equação
. Ao multiplicá-la por
é possível escrever a equação do lado esquerdo da igualdade, como a derivada de um produto.
(s) ( ) Para resolver a equação
como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja
.
(t) ( ) Para resolver a equação
como uma EDO Linear de Primeira Ordem, é preciso que o fator integrante seja
.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
(a) ( ) Dada a equação
(b) ( ) Para que a
(c) ( ) Para que a equação diferencial
(d) ( ) Dependendo de como a equação
(e) ( ) Ao resolver a equação
(f) ( ) Considere a equação
(g) ( ) Para que
(h) ( ) Considere a equação
(i) ( ) A solução da equação
(j) ( ) À respeito do método de resolução, a equação
(k) ( ) A equação
(l) ( ) Para resolver a equação
(m) ( ) Dada uma equação de Ricatti do tipo
(n) ( ) Dada uma equação de Ricatti do tipo
(o) ( ) À respeito do método de resolução, a equação
§ ( ) Uma equação de Bernoulli é da forma
(q) ( ) Para se resolver uma equação de Bernoulli, que é da forma
® ( ) Considere a equação
(s) ( ) Para resolver a equação
(t) ( ) Para resolver a equação
Passo 1
O exercício pede pra gente dizer se cada afirmação sobre métodos de resolução de EDO é verdadeira ou falsa, justificando apenas os métodos envolvidos (exata, linear, Bernoulli, Riccati, separável etc.). Não precisamos resolver as EDOs em si, só identificar o método e conferir se a afirmação bate.
Passo 2
Pra equações de Riccati do tipo
, o procedimento é: conhecer uma solução particular
; fazer
e obter uma EDO de Bernoulli em
; depois usar
e chegar a uma EDO linear de 1ª ordem. Isso vale para as afirmações (a), (m) e (n). Em (a) o cálculo mostra que, de fato, com
a solução geral é
, logo (a) é verdadeira. As descrições em (m) e (n) do método Riccati também estão corretas, logo são verdadeiras.
Passo 3
Para as afirmações (b), (c) e (g) usamos o teste de exatidão de
: comparamos
e
. Se não batem, buscamos um fator integrante
tal que
seja exata, e usamos
. Fazendo isso dá
em (b), não
, logo (b) é falsa. Na (c) o critério exato dá
, e não
, então (c) é falsa. Em (g) o teste exato pede
, não
, logo (g) é falsa.
Passo 4
Na afirmação (i) tentam dizer que a solução de
é
. Ao testar exatidão vemos que não bate e o fator integrante não leva a essa forma, então (i) é falsa.
Passo 5
Para (e), (j) e (o) olhamos pra separabilidade. Em (e) ao fazer
transformamos numa EDO homogênea que vira
, perfeitamente separável. Logo (e) é verdadeira. Em (j) e (o), as EDOs
e
separam como
e
, ambas separáveis, então em (j) a afirmação “não é possível” é falsa, e em (o) dizer que é possível é verdadeira.
Passo 6
A equação
aparece em (d), (k), (l), (s) e (t). Se a gente reescrever como
com
e
, dá
, então ela é exata e (k) é verdadeira. Como equação linear na forma
com
, o fator integrante é
, logo (s) é verdadeira, mas (l) e (t) estão errados. Também (d) diz que dependendo de como se escrever dá pra tratar como exata ou linear, o que é verdade. As afirmações (f), (h) e ® sobre
,
e
multiplicadas por
,
e
viram
,
e
, todas verdadeiras.
Passo 7
Por fim, para equações de Bernoulli
com
a mudança
leva a uma EDO linear de 1ª ordem. Se
ou
, a EDO já é linear. Isso faz § e (q) verdadeiras.
Resposta
(a) V; (b) F; (c) F; (d) V; (e) V; (f) V; (g) F; (h) V; (i) F; (j) F; (k) V; (l) F; (m) V; (n) V; (o) V; § V; (q) V; ® V; (s) V; (t) F