Encontre a derivada das funções a seguir.
(2,0 pontos) f(x)=sen(3 x^2) cos (12 x^6+9)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=sinl(3x^2r)cdotcosl(tfrac12x^6+9r)
Nesse problema vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Vamos definir duas funções auxiliares:
u(x)=sinl(3x^2r), v(x)=cosl(tfrac12x^6+9r)
A regra do produto diz que
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em cada derivada:
Para u(x)=sin(g(x)) com g(x)=3x^2, temos
u'(x)=cosl(3x^2r)cdot g'(x)=cosl(3x^2r)cdot6x=6x,cosl(3x^2r)
Para v(x)=cos(h(x)) com h(x)=tfrac12x^6+9, temos
v'(x)=-sinl(tfrac12x^6+9r)cdot h'(x)=-sinl(tfrac12x^6+9r)cdot3x^5=-3x^5,sinl(tfrac12x^6+9r)

Passo 4

Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x)=l(6x,cos(3x^2)r),cosl(tfrac12x^6+9r)+sin(3x^2),l(-3x^5,sin(tfrac12x^6+9))
e organizando:

Passo 5

Ao simplificar, a derivada final fica
f'(x)=6x,cos(3x^2),cosl(tfrac12x^6+9r)-3x^5,sin(3x^2),sinl(tfrac12x^6+9r)

Resposta

f’(x)=6x,\cos(3x2),\cos\bigl(\tfrac12x6+9\bigr)-3x5,\sin(3x2),\sin\bigl(\tfrac12x^6+9\bigr)

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