Exercício 2.9. Seja y=y1(x) uma solução de
y^prime+p(x) y=0
e y=y2(x) uma solução de
y^prime+p(x) y=q(x)
Mostre que y=y1(x)+y2(x) também é solução de (2.12).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se y1(x) satisfaz a equação linear homogênea
y' + p(x),y = 0
e y2(x) satisfaz a equação linear não homogênea
y' + p(x),y = q(x),
então a soma
y(x) = y1(x) + y2(x)
é também solução da não homogênea acima. O conteúdo aqui é a linearidade do operador diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Definimos o operador linear
L[y] = y' + p(x),y
Por hipótese, temos
L[y1] = y1' + p(x),y1 = 0
e
L[y2] = y2' + p(x),y2 = q(x)

Passo 3

Como L é linear, vale
L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2]
Substituindo os valores que já conhecemos,
L[y1 + y2] = 0 + q(x) = q(x)

Passo 4

Portanto
(y1 + y2)' + p(x),(y1 + y2) = q(x),
ou seja, y(x)=y1(x)+y2(x) satisfaz exatamente a equação não homogênea.

Resposta

y(x)=y1(x)+y2(x) é solução de y'+p(x),y=q(x).

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