Explique como resolver (1+e^x) d yd x+e^x y=0 de duas maneiras distintas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
l(1+e^xr),dydx+e^x,y=0
Esse é um caso clássico de equação linear homogênea de primeira ordem. Podemos resolvê-la de duas maneiras:
  1. usando fator integrante, e
  2. separando variáveis.

Passo 2

Método 1 – fator integrante
Primeiro colocamos no formato padrão
dydx + e^x1+e^x,y = 0
Aqui P(x)=dfrace^x1+e^x. Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral e^x1+e^x,dxr)
Fazendo a substituição u=1+e^x, temos du=e^xdx, logo
integral e^x1+e^x,dx = integral duu = ln|u| = lnl(1+e^xr)
Portanto
mu(x) = e^ln(1+e^x) = 1+e^x
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
(1+e^x)dydx + e^x,y = ddxl[(1+e^x),yr] = 0
Integrando em relação a x, vem
(1+e^x),y = C Longrightarrow y = C1+e^x

Passo 3

Método 2 – separação de variáveis
Reescrevemos a equação isolando tfracdydx:
dydx = -e^x1+e^x,y
Agora separamos y e x:
1y,dy = -e^x1+e^x,dx
Integramos os dois lados. No lado esquerdo vem ln|y|. No direito usamos de novo u=1+e^x, du=e^xdx:
integral 1y,dy = ln|y|, integral -e^x1+e^x,dx = -lnl(1+e^xr)
Logo
ln|y| = -lnl(1+e^xr) + C Longrightarrow y = C'1+e^x,
onde C'=e^C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y = C1+e^x,
em que C é constante de integração.

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