Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver completamente nenhuma EDO.)
Dada a equação d yd x=e^x+y, não é possível resolvê-la por separação de variáveis.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão: estamos analisando a equação diferencial ordinária (EDO) dydx = e^x+y. O enunciado afirma que não é possível resolver essa equação por separação de variáveis. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa, utilizando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Separação de Variáveis é um método usado para resolver EDOs onde conseguimos reorganizar a equação de modo que todos os termos contendo y fiquem de um lado e os termos contendo x fiquem do outro. Vamos tentar aplicar isso aqui.

Passo 3

Começamos com a equação:
dydx = e^x+y
Podemos reescrever e^x+y como e^x cdot e^y . Assim, a equação fica:
dydx = e^x cdot e^y

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis y e x . Dividimos ambos os lados por e^y :
dye^y = e^x dx
Assim, conseguimos isolar y de um lado e x do outro, o que é essencial para a separação de variáveis.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
integral dye^y = integral e^x dx
A integral de 1e^y dy é -e^-y + C e a integral de e^x dx é e^x + C , onde C é a constante de integração.

Passo 6

Após integrar, temos:
-e^-y = e^x + C
Podemos rearranjar para resolver y :
e^-y = -e^x - C
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos a solução para y .

Resposta

Falso. É possível resolver a equação diferencial dydx = e^x+y por separação de variáveis, conforme demonstrado.

Exercícios relacionados