Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver completamente nenhuma EDO.)
Dada a equação (x+y) d x+x ln x d y=0, x>0, temos que My neq Nx. Assim não há nada a fazer, para que a equação seja resolvida como uma EDO Exata, tendo então que ser resolvida por outro método.

Passo 1

O enunciado dá a equação de primeira ordem
(x+y),dx + xln x,dy = 0, x>0
e afirma que, como
M(x,y)=x+y, N(x,y)=xln x,
temos Myneq Nx e “não há nada a fazer” para torná-la exata. Vamos verificar se existe fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais para checar exatidão:
My = partialpartial y(x+y) = 1, Nx = partialpartial x(xln x) = ln x + 1
De fato My=1 e Nx=ln x +1, logo Myneq Nx e a equação não é exata “de cara”.

Passo 3

Para buscar um fator integrante mu que dependa só de x, usamos a condição
dmu/dxmu = My-NxN = 1 - (ln x +1)xln x = -1x
Note que o lado direito é função apenas de x, então existe mu(x).

Passo 4

Integramos dmumu=-1x,dx, obtendo
lnmu = -ln x + C implies mu(x)=e^C,x^-1
Podemos escolher e^C=1, de modo que mu(x)=1/x.

Passo 5

Multiplicando a equação original por 1/x ela se torna exata, permitindo então resolver como EDO exata. Logo não é verdade que “não há nada a fazer”.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados