Considere a equação
, e:
É possível resolver a EDO dada como uma EDO homogênea? Ou seja, para algum
, as funções que compõem a EDO satisfazem a
? Justifique sua resposta.
É possível resolver a EDO dada como uma EDO homogênea? Ou seja, para algum
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
A pergunta é: É possível resolver essa EDO como uma EDO homogênea? Para responder, precisamos entender o que é uma EDO homogênea e verificar se a equação dada se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é uma EDO homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se todas as suas funções podem ser escaladas por um fator
de tal forma que:
para algum número real
. Isso significa que, ao multiplicar as variáveis
e
por
, a função resultante é igual à função original multiplicada por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa EDO:
Precisamos verificar se existe um
tal que todas as funções na equação satisfaçam
.
Passo 4
Vamos examinar cada termo da equação:
- Termo
:
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que:
Isso não é possível para nenhum
real, pois
não é proporcional a
por um fator de
.
- Termo
:
Novamente, não conseguimos expressar isso como
para um único
, pois
não pode ser simplificado dessa maneira.
Passo 5
Como os termos
e
não satisfazem a condição de homogeneidade para nenhum valor real de
, concluímos que a EDO dada não é homogênea.
Resposta
Não, a EDO dada não é homogênea, pois suas funções não satisfazem a condição
para nenhum
.