Considere a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0, e:
É possível resolver a EDO dada como uma EDO homogênea? Ou seja, para algum n in R, as funções que compõem a EDO satisfazem a f(t x, t y)=t^n f(x, y) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
(1 + e^x) dydx + e^x y = 0
A pergunta é: É possível resolver essa EDO como uma EDO homogênea? Para responder, precisamos entender o que é uma EDO homogênea e verificar se a equação dada se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é uma EDO homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se todas as suas funções podem ser escaladas por um fator t de tal forma que:
f(t x, t y) = t^n f(x, y)
para algum número real n . Isso significa que, ao multiplicar as variáveis x e y por t , a função resultante é igual à função original multiplicada por t^n .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa EDO:
(1 + e^x) dydx + e^x y = 0
Precisamos verificar se existe um n tal que todas as funções na equação satisfaçam f(t x, t y) = t^n f(x, y) .

Passo 4

Vamos examinar cada termo da equação:
  1. Termo 1 + e^x :
f(t x) = 1 + e^t x
Para que isso seja igual a t^n(1 + e^x) , precisaríamos que:
1 + e^t x = t^n (1 + e^x)
Isso não é possível para nenhum n real, pois e^t x não é proporcional a e^x por um fator de t^n .
  1. Termo e^x y :
f(t x, t y) = e^t x (t y) = t e^t x y
Novamente, não conseguimos expressar isso como t^n e^x y para um único n , pois e^t x não pode ser simplificado dessa maneira.

Passo 5

Como os termos 1 + e^x e e^x y não satisfazem a condição de homogeneidade para nenhum valor real de n , concluímos que a EDO dada não é homogênea.

Resposta

Não, a EDO dada não é homogênea, pois suas funções não satisfazem a condição f(t x, t y) = t^n f(x, y) para nenhum n in R .

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