Resolva 1 das questões a seguir:
Caso seja resolvida mais de uma questão, será escolhida a que obtiver a menor nota na correção.
Resolva
como uma Equação de Clairaut.
Caso seja resolvida mais de uma questão, será escolhida a que obtiver a menor nota na correção.
Resolva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação
como uma Equação de Clairaut. A Equação de Clairaut é um tipo especial de equação diferencial onde a solução geral é uma família de retas, e também podemos encontrar uma solução singular que é a envelope dessa família. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e resolver uma Equação de Clairaut passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da Equação de Clairaut. A forma geral de uma Equação de Clairaut é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
. Isso confirma que estamos lidando com uma Equação de Clairaut.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, vamos tratar
como uma constante, digamos
. Então, nossa equação fica:
Essa é a equação geral da família de retas parametrizada por
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a solução singular, que é a envelope da família de retas. Para isso, vamos derivar a equação geral em relação a
e igualar a derivada a zero:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, temos duas equações:
Substituímos
da segunda equação na primeira:
Passo 6
Agora, expressamos
em termos de
a partir de
:
Substituímos isso na equação para
:
Passo 7
Simplificando a expressão para
:
Resposta
A solução singular da Equação de Clairaut é: