Resolva 1 das questões a seguir:
Caso seja resolvida mais de uma questão, será escolhida a que obtiver a menor nota na correção.
Resolva y=2(d yd x)^3+x(d yd x) como uma Equação de Clairaut.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação y = 2(dydx)^3 + x(dydx) como uma Equação de Clairaut. A Equação de Clairaut é um tipo especial de equação diferencial onde a solução geral é uma família de retas, e também podemos encontrar uma solução singular que é a envelope dessa família. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar e resolver uma Equação de Clairaut passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da Equação de Clairaut. A forma geral de uma Equação de Clairaut é:
y = x cdot dydx + f(dydx)
Comparando com a nossa equação:
y = 2(dydx)^3 + x(dydx)
Aqui, f(dydx) = 2(dydx)^3 . Isso confirma que estamos lidando com uma Equação de Clairaut.

Passo 3

Para encontrar a solução geral, vamos tratar dydx como uma constante, digamos p . Então, nossa equação fica:
y = 2p^3 + xp
Essa é a equação geral da família de retas parametrizada por p .

Passo 4

Agora, queremos encontrar a solução singular, que é a envelope da família de retas. Para isso, vamos derivar a equação geral em relação a p e igualar a derivada a zero:
Primeiro, derivamos y = 2p^3 + xp em relação a p :
dydp = 6p^2 + x = 0
Isso nos dá:
x = -6p^2

Passo 5

Agora, temos duas equações:
  1. y = 2p^3 + xp
  2. x = -6p^2
Substituímos x da segunda equação na primeira:
y = 2p^3 + (-6p^2)p
y = 2p^3 - 6p^3
y = -4p^3

Passo 6

Agora, expressamos p em termos de x a partir de x = -6p^2 :
p^2 = -x6
p = raiz-x6
Substituímos isso na equação para y :
y = -4p^3 = -4(raiz-x6)^3
y = -4(-x6)^32
y = 4(x6)^32

Passo 7

Simplificando a expressão para y :
y = 46^32 x^32
y = 46raiz6 x^32
y = 23raiz6 x^32

Resposta

A solução singular da Equação de Clairaut é:
y = 23raiz6 x^32

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