Utilize a técnica de integração por partes para resolver a integral a seguir.
integral1^e ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de ln x de 1 até e. A gente vai usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar quais funções vamos chamar de u e dv na fórmula de integração por partes:
integral u, dv = uv - integral v, du
Então, vamos ver como aplicar isso na nossa integral!

Passo 2

Primeiro, escolhemos u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar, e dv como o que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = dx Rightarrow v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln x , dx = ln x cdot x - integral x cdot 1x dx

Passo 4

Simplificamos a integral que ficou:
ln x cdot x - integral xx dx = x ln x - integral 1 , dx
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, então:
x ln x - x + C
Como estamos trabalhando com integral definida de 1 até e, vamos substituir os limites.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração:
[ x ln x - x ]1^e = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1)
Sabemos que ln e = 1 e ln 1 = 0, então fica:
(e cdot 1 - e) - (1 cdot 0 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1

Resposta

O valor da integral integral1^e ln x , dx é 1.

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