Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que a EDO(1x sen(x y)+y cos (x y)) d x+x cos (x y) d y=0 seja exata, o fator integrante deve ser mu(x)=-x.

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é sobre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e se o fator integrante mu(x) = -x torna essa EDO exata. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma EDO ser exata e como aplicar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da EDO dada:
(1x sin(xy) + y cos(xy)) dx + x cos(xy) dy = 0
Aqui, temos:
  • M(x, y) = 1x sin(xy) + y cos(xy)
  • N(x, y) = x cos(xy)

Passo 3

Uma EDO da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular essas derivadas.
partial Mpartial y = 1x cdot x cos(xy) + cos(xy) - xy sin(xy) = 2cos(xy) - xy sin(xy)
partial Npartial x = cos(xy) - xy sin(xy)
Vemos que:
partial Mpartial y - partial Npartial x = 2cos(xy) - xy sin(xy) - (cos(xy) - xy sin(xy)) = cos(xy)
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a EDO não é exata.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se o fator integrante mu(x) = -x torna a EDO exata. Multiplicamos M e N por mu(x):
mu(x)M = -x ( 1x sin(xy) + y cos(xy) ) = -sin(xy) - xy cos(xy)
mu(x)N = -x cdot x cos(xy) = -x^2 cos(xy)
Vamos calcular as derivadas parciais novamente:
partial (mu M)partial y = -x cos(xy) - x cos(xy) + x^2 y sin(xy) = -2x cos(xy) + x^2 y sin(xy)
partial (mu N)partial x = -2x cos(xy) + x^2 y sin(xy)
Agora, vemos que:
partial (mu M)partial y = partial (mu N)partial x
Portanto, após aplicar o fator integrante mu(x) = -x, a EDO se torna exata.

Resposta

Verdadeiro. O fator integrante mu(x) = -x torna a EDO exata.

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