Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que a
seja exata, o fator integrante deve ser
.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que a
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é sobre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e se o fator integrante
torna essa EDO exata. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma EDO ser exata e como aplicar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da EDO dada:
Aqui, temos:
Passo 3
Uma EDO da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Vemos que:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se o fator integrante
torna a EDO exata. Multiplicamos
e
por
:
Vamos calcular as derivadas parciais novamente:
Agora, vemos que:
Portanto, após aplicar o fator integrante
, a EDO se torna exata.
Resposta
Verdadeiro. O fator integrante
torna a EDO exata.