Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que a equação diferencial
seja exata, é preciso que
.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que a equação diferencial
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a equação diferencial
é exata somente quando
. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas, que envolve comparar derivadas parciais de certas funções relacionadas à equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma
. A equação dada é:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para que a equação seja exata, a condição
deve ser satisfeita. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de exatidão:
Isso significa que para a equação ser exata, o valor de
deve ser igual a 1.
Resposta
Falso. A equação diferencial é exata somente quando
, não quando
.