Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que a equação diferencial d yd x=x-ya x-y^2 seja exata, é preciso que a=-1.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a equação diferencial dydx = x - ya x - y^2 é exata somente quando a = -1 . Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas, que envolve comparar derivadas parciais de certas funções relacionadas à equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 . A equação dada é:
dydx = x - ya x - y^2
Multiplicando ambos os lados por (a x - y^2) e rearranjando, temos:
(a x - y^2) dy - (x - y) dx = 0
Aqui, identificamos:
M(x,y) = -(x - y)
N(x,y) = a x - y^2

Passo 3

Para que a equação seja exata, a condição partial Mpartial y = partial Npartial x deve ser satisfeita. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, calculamos partial Mpartial y :
M(x,y) = -(x - y) Rightarrow partial Mpartial y = -(-1) = 1
Em seguida, calculamos partial Npartial x :
N(x,y) = a x - y^2 Rightarrow partial Npartial x = a

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = partial Npartial x Rightarrow 1 = a
Isso significa que para a equação ser exata, o valor de a deve ser igual a 1.

Resposta

Falso. A equação diferencial é exata somente quando a = 1 , não quando a = -1 .

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