Calcule a integral dupla.
\iint_{R} \frac{1+x{2}}{1+y{2}} d A, \quad R={(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1}

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo de
integral duplaR 1+x^21+y^2 ,dA, R = (x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1
Conteúdo: aplicação do teorema de Fubini em retângulo e fatoração do integrando.

Passo 2

Observamos que
1+x^21+y^2 = (1+x^2)cdot 11+y^2,
então, pelo teorema de Fubini,
integral duplaR1+x^21+y^2,dA = integral0^1(1+x^2),dx ;times; integral0^111+y^2,dy

Passo 3

Calculemos a integral em x:
integral0^1(1+x^2),dx = integral0^11,dx + integral0^1x^2,dx = l[xr]0^1 + l[tfracx^33r]0^1 = 1 + tfrac13 = tfrac43

Passo 4

Calculemos a integral em y:
integral0^111+y^2,dy = l[arctan(y)r]0^1 = arctan(1) - arctan(0) = tfracpi4

Passo 5

Multiplicando os resultados:
tfrac43times tfracpi4 = tfracpi3

Resposta

pi3

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