Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(i) ( ) Se lim n +infty anbn=0 e sumn=1^+infty bn diverge, então sumn=1^+infty an diverge;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação
Se limntoinftyanbn=0 e sumn=1^inftybn diver>=, então sumn=1^inftyan diver>= ã
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o teste de comparação de séries pelo quociente (limit comparison test). Sabemos que, se
L=limntoinftyanbn
existe e 0<L<infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Mas aqui temos L=0, caso em que esse teste não garante nada. Para decidir, vamos procurar um contra-exemplo.

Passo 2

Escolhemos
bn=1n, an=1n^2
Então
anbn =1/n^21/n =1n Longrightarrow limntoinftyanbn=0
Sabemos que sumn=1^inftybn=sumn=1^infty1n diverge (série harmónica), mas
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty1n^2
converge (série p-com série p=2>1). Logo encontramos um contra-exemplo que mostra que a afirmação é falsa.

Resposta

(F)

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