Explique como resolver (1+e^x) d yd x+e^x y=0, como uma EDO Exata e como EDO Linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial (1+e^x) dydx + e^x y = 0. O que precisamos fazer é resolver essa equação usando duas abordagens: EDO Exata e EDO Linear. Para isso, vamos precisar entender o que são essas duas técnicas e como aplicá-las passo a passo. Vamos nessa!

Passo 2

Resolvendo como uma EDO Exata
Primeiro, vamos ver se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é exata se satisfaz partial Mpartial y = partial Npartial x.
Aqui, podemos reescrever a equação:
(1 + e^x)dydx + e^x y = 0 Rightarrow e^x y , dx + (1 + e^x) dy = 0
Então, M(x, y) = e^x y e N(x, y) = 1 + e^x.
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^x
partial Npartial x = e^x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata!
Agora, para encontrar a solução, precisamos achar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = e^x y
partial Fpartial y = N = 1 + e^x
Vamos integrar M em relação a x:
F(x, y) = integral e^x y , dx = y e^x + g(y)
Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = e^x + g'(y) = 1 + e^x Rightarrow g'(y) = 1
Integrando g'(y):
g(y) = y + C
Então, a função F(x, y) é:
F(x, y) = y e^x + y = y (1 + e^x) = C

Passo 3

Resolvendo como uma EDO Linear
Agora, vamos resolver a mesma equação usando a técnica de EDO Linear. Primeiramente, colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear:
dydx + P(x) y = Q(x)
Dividindo toda a equação original por 1 + e^x:
dydx + e^x1 + e^x y = 0
Aqui, P(x) = e^x1 + e^x e Q(x) = 0.
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral e^x1 + e^x dx
Fazendo a integração no expoente, fazemos uma substituição:
u = 1 + e^x Rightarrow du = e^x dx
Então,
integral e^x1 + e^x dx = integral duu = ln|u| + C = ln(1 + e^x) + C
Portanto,
mu(x) = e^ln(1 + e^x) = 1 + e^x
Multiplicamos toda a equação original pela mu(x):
(1 + e^x) dydx + e^x y = 0
O que nos dá:
ddx [y (1 + e^x)] = 0
Integrando ambos os lados:
y (1 + e^x) = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 + e^x
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados