Explique como resolver
, como uma EDO Exata e como EDO Linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. O que precisamos fazer é resolver essa equação usando duas abordagens: EDO Exata e EDO Linear. Para isso, vamos precisar entender o que são essas duas técnicas e como aplicá-las passo a passo. Vamos nessa!
Passo 2
Resolvendo como uma EDO Exata
Primeiro, vamos ver se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfaz
.
Aqui, podemos reescrever a equação:
Então,
e
.
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Agora, para encontrar a solução, precisamos achar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Então, a função
é:
Passo 3
Resolvendo como uma EDO Linear
Agora, vamos resolver a mesma equação usando a técnica de EDO Linear. Primeiramente, colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear:
Dividindo toda a equação original por
:
Aqui,
e
.
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Fazendo a integração no expoente, fazemos uma substituição:
Então,
Portanto,
Multiplicamos toda a equação original pela
:
O que nos dá:
Integrando ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.