Determine a equação vetorial da interseção das superfícies em termos do parâmetro x=t, em que -1 <= t <= 1.
z=x^2+y^2, x-y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial da interseção das duas superfícies dadas, usando o parâmetro x = t onde -1 <= t <= 1 . As duas superfícies são:
  1. z = x^2 + y^2 (que é um paraboloide)
  2. x - y = 0 (que é um plano)
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para relacionar x , y e z usando o parâmetro t .

Passo 2

Primeiro, já que o problema nos dá que x = t , vamos usar isso como nosso parâmetro. Isso significa que vamos expressar y e z em termos de t .
Sabemos que x - y = 0 , então podemos resolver para y :
x - y = 0 implies y = x
Como x = t , então:
y = t

Passo 3

Agora que temos x = t e y = t , vamos usar a primeira equação para encontrar z :
z = x^2 + y^2
Substituindo x e y por t :
z = t^2 + t^2
z = 2t^2

Passo 4

Agora temos todas as coordenadas em termos de t :
x = t
y = t
z = 2t^2
Para escrever a equação vetorial da interseção das superfícies, colocamos esses valores em um vetor:
r(t) = lang<= t, t, 2t^2 rang<=

Resposta

A equação vetorial da interseção das superfícies é:
r(t) = lang<= t, t, 2t^2 rang<= com -1 <= t <= 1

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