Determine a equação vetorial da interseção das superfícies em termos do parâmetro
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial da interseção das duas superfícies dadas, usando o parâmetro
onde
. As duas superfícies são:
-
(que é um paraboloide) -
(que é um plano)
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para relacionar
,
e
usando o parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, já que o problema nos dá que
, vamos usar isso como nosso parâmetro. Isso significa que vamos expressar
e
em termos de
.
Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Como
, então:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos usar a primeira equação para encontrar
:
Substituindo
e
por
:
Passo 4
Agora temos todas as coordenadas em termos de
:
Para escrever a equação vetorial da interseção das superfícies, colocamos esses valores em um vetor:
Resposta
A equação vetorial da interseção das superfícies é: