Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Dependendo de como a equação (1+e^x) d yd x+e^x y=0 for escrita, esta pode resolvida como uma EDO Exata ou como uma EDO Linear.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
l(1+e^xr)dydx+e^x,y=0
e pergunta se, dependendo de como ela for escrita, pode ser tratada como EDO linear ou EDO exata. O conteúdo envolve reconhecimento da forma padrão de uma EDO linear e a verificação da condição de exatidão em forma diferencial.

Passo 2

Para ver como EDO linear, dividimos ambos os lados por 1+e^x (que nunca é zero) e obtemos a forma padrão
dydx+underbracee^x1+e^xP(x),y=0
Isso é justamente uma EDO linear de coeficientes em x, com P(x)=e^x/(1+e^x).

Passo 3

Para ver como EDO exata, reescrevemos a equação no formato
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
multiplicando a forma original por dx:
e^x,y,dx+l(1+e^xr),dy=0,
onde
M(x,y)=e^xy, N(x,y)=1+e^x
Calculamos
partial Mpartial y=e^x, partial Npartial x=e^x,
e como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Resposta

Verdadeiro.

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