Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Ao resolver a equação d yd x=x+yx-y, fazendo a substituição y=u x, se obterá uma outra EDO, sendo esta última possível de resolver por separação de variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa e justificar. O enunciado trata de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar entender como a substituição y = u x pode transformar a EDO original e se a nova equação resultante pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y = u x na equação original:
dydx = x + yx - y
Substituindo y por u x , temos:
d(u x)dx = x + u xx - u x
Simplificando isso, usando a regra do produto:
u + x dudx = x(1 + u)x(1 - u) = 1 + u1 - u

Passo 3

Agora, vamos isolar dudx :
x dudx = 1 + u1 - u - u = 1 + u - u(1 - u)1 - u = 1 + u^21 - u
Então, temos:
dudx = 1 + u^2x(1 - u)

Passo 4

Vamos analisar se essa nova equação pode ser resolvida por separação de variáveis. A separação de variáveis funciona quando conseguimos expressar todos os termos com u de um lado e todos os termos com x do outro. Olhando para a equação:
dudx = 1 + u^2x(1 - u)
Podemos tentar rearranjar:
(1 - u) du1 + u^2 = dxx
Mas ao tentar separar, percebemos que ainda há termos misturados (como u no denominador), o que impede a separação completa das variáveis.

Passo 5

Portanto, concluímos que após a substituição y = u x , a nova EDO obtida não é passível de ser resolvida pelo método de separação de variáveis, pois não conseguimos separar completamente as variáveis u e x .

Resposta

Falso. Ao fazer a substituição y = u x , a nova EDO obtida não pode ser resolvida por separação de variáveis.

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