Determine a equação vetorial da interseção das superfícies em termos do parâmetro x=t, em que -1 <= t <= 1.
x+y=0, z=raiz2+x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação vetorial da interseção das duas superfícies dadas, usando o parâmetro x = t onde -1 <= t <= 1 . As superfícies são:
  1. x + y = 0
  2. z = raiz2 + x^2 + y^2
Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como sistemas de equações e parametrização vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dessas duas superfícies. A interseção é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Então, precisamos resolver o sistema formado por x + y = 0 e z = raiz2 + x^2 + y^2 .

Passo 3

Vamos começar expressando uma das variáveis em termos de t . Como o exercício pede para usarmos x = t , já temos:
x = t

Passo 4

Agora, substituímos x = t na primeira equação x + y = 0 para encontrar y :
t + y = 0 implies y = -t
Então, temos:
y = -t

Passo 5

Com x = t e y = -t , vamos substituir esses valores na segunda equação para encontrar z :
z = raiz2 + x^2 + y^2 = raiz2 + t^2 + (-t)^2
Como (-t)^2 = t^2 , simplificamos:
z = raiz2 + t^2 + t^2 = raiz2 + 2t^2

Passo 6

Agora, já temos todas as variáveis em termos de t :
x = t
y = -t
z = raiz2 + 2t^2
Para expressar a equação vetorial, usamos um vetor posição que depende do parâmetro t :
r(t) = lang<= x, y, z rang<= = lang<= t, -t, raiz2 + 2t^2 rang<=

Resposta

A equação vetorial da interseção das superfícies, usando x = t com -1 <= t <= 1 , é:
r(t) = lang<= t, -t, raiz2 + 2t^2 rang<=

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