Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para que (x y^2+b x^2 y) d x+(x^3+x^2 y) d y=0 seja uma edo exata, é preciso que b=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se a equação diferencial (x y^2 + b x^2 y) dx + (x^3 + x^2 y) dy = 0 é exata, e para isso, ver se isso exige que b = 0 . Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma equação diferencial da forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x . Ou seja, precisamos verificar se partial Mpartial y = partial Npartial x .

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
  • M = x y^2 + b x^2 y
  • N = x^3 + x^2 y

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 2x y + b x^2
  • partial Npartial x = 3x^2 + 2x y

Passo 5

Para que a equação seja exata, essas derivadas devem ser iguais:
2x y + b x^2 = 3x^2 + 2x y

Passo 6

Simplificando a equação:
b x^2 = 3x^2
Dividindo ambos os lados por x^2 (assumindo x neq 0 ):
b = 3

Resposta

Falso. Para que a equação seja exata, é preciso que b = 3 , e não b = 0 .

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