Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
(Obs.: Só justifique os métodos. Não é necessário resolver nenhuma EDO.)
( ) Para se resolver uma equação de Bernoulli, que é da forma d yd x+P(x) y=f(x) y^n, para n sendo um número real, se faz uma mudança de variável que vai resultar em uma edo linear de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Bernoulli
dydx+P(x),y = f(x),y^n
com n real, e pergunta se há uma mudança de variável que transforma essa EDO não linear numa EDO linear de primeira ordem. Vamos recordar o conteúdo de equações de Bernoulli e o método de redução.

Passo 2

Para tratar a não linearidade causada pelo termo y^n, dividimos a equação original por y^n. Assim obtemos
y^-ndydx+P(x),y^1-n=f(x)

Passo 3

Definimos a nova variável
u = y^1-n
Calculando sua derivada, usando regra da cadeia, temos
dudx = (1-n),y^-ndydx
Essa relação permite expressar y^-ndydx em função de dudx.

Passo 4

Substituindo y^-ndydx = tfrac11-n,dudx na equação de passo 2, obtemos
11-n,dudx + P(x),u = f(x)
Multiplicando por 1-n chega-se a
dudx + (1-n),P(x),u = (1-n),f(x),
que é uma EDO linear de primeira ordem em u.

Resposta

Verdadeiro.

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