Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(j) ( ) Se lim n +infty anbn=+infty e sumn=1^+infty bn converge, então sumn=1^+infty an converge.
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Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
(a) sumn=1^infty cos (pi n)raizn;

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(j) Classificar como verdadeira ou falsa a afirmação “Se limnto+inftyanbn=+infty e sum bn converge, então sum an converge”, dando demonstração ou contra-exemplo.
(a) Explicar por que o Teste da Integral não pode ser usado para a série sumn=1^inftycos(pi n)raizn.

Passo 2

Para (j) vamos dar um contra-exemplo. Seja
bn = 1n^2, an = 1n
Então sum bn = sum 1n^2 converge, e
anbn = 1n1n^2 = n ;xrightarrow[ntoinfty]; +infty
Porém sum an = sum 1n é a série harmônica, que diverge. Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

O Teste da Integral exige uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,infty) tal que f(n)=an.
No caso an=cos(pi n)raizn, a função natural seria f(x)=cos(pi x)/raizx, mas ela não é de sinal constante (oscila entre +tfrac1raizx e -tfrac1raizx) nem monotona. Portanto não satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.

Resposta

(j) Falsa.
(a) Porque cos(pi n)raizn não é positiva nem monotona, violando as condições do Teste da Integral.

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