Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ou falsa dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(j) ( ) Se e converge, então converge.
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Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se as séries abaixo é convergente ou não.
(a) ;
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(j) Classificar como verdadeira ou falsa a afirmação “Se e converge, então converge”, dando demonstração ou contra-exemplo.
(a) Explicar por que o Teste da Integral não pode ser usado para a série .
Passo 2
Para (j) vamos dar um contra-exemplo. Seja
Então converge, e
Porém sum an = sum 1n é a série harmônica, que diverge. Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
O Teste da Integral exige uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,infty) tal que f(n)=an.
No caso an=cos(pi n)raizn, a função natural seria f(x)=cos(pi x)/raizx, mas ela não é de sinal constante (oscila entre +tfrac1raizx e -tfrac1raizx) nem monotona. Portanto não satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.
Resposta
(j) Falsa.
(a) Porque cos(pi n)raizn não é positiva nem monotona, violando as condições do Teste da Integral.