Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Ao resolver uma equação diferencial ordinária, de ordem , não-homogênea, pelo método da variação dos parâmetros se determinam , para . é o Wronskinano das soluções da edo na forma homogênea, e é o determinante obtido ao trocar no Wronskiano, a -ésima coluna por , onde é a função que se encontra do lado direito da igualdade, da edo.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para afirmarmos se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Ao resolver uma equação diferencial ordinária, de ordem , não-homogênea, pelo método da variação dos parâmetros se determinam , para . é o Wronskiano das soluções da EDO na forma homogênea, e é o determinante obtido ao trocar no Wronskiano, a -ésima coluna por , onde é a função que se encontra do lado direito da igualdade, da EDO.”
Vamos usar o método da variação dos parâmetros para resolver EDOs não-homogêneas e verificar se essa afirmação está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de ordem . É uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida até a -ésima ordem. Se for não-homogênea, isso significa que há um termo independente da função desconhecida, geralmente escrito como .
Passo 3
O método da variação dos parâmetros é uma técnica para encontrar soluções particulares de EDOs não-homogêneas. A ideia é assumir que os coeficientes das soluções da equação homogênea (onde ) não são constantes, mas sim funções que precisamos determinar.
Passo 4
Para uma EDO linear de ordem :
A solução geral é a soma da solução geral da homogênea () e uma solução particular ():
Passo 5
A solução homogênea é uma combinação linear de soluções lineares independentes :
onde são constantes.
Passo 6
No método da variação dos parâmetros, substituímos as constantes por funções . Assim, a solução particular é:
Passo 7
Derivando e substituindo na EDO original, obtemos um sistema de equações para determinar as derivadas . A solução desse sistema envolve o Wronskiano das soluções .
Passo 8
O Wronskiano é o determinante formado pelas soluções e suas derivadas:
Passo 9
As derivadas uk' são dadas por:
uk' = WkW
onde Wk é o determinante semelhante a W , mas com a k -ésima coluna substituída pelo vetor 0 0 vdots f(x) .
Passo 10
Comparando com a afirmação original:
uk^prime = WWk
Percebemos que na afirmação está invertido, já que a fórmula correta é uk' = WkW .
Resposta
Falso. A expressão correta para uk^prime é WkW , não WWk .