Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Ao resolver uma equação diferencial ordinária, de ordem n, não-homogênea, pelo método da variação dos parâmetros se determinam uk^prime=WWk, para k=1, ldots, n. W é o Wronskinano das n soluções da edo na forma homogênea, e Wk é o determinante obtido ao trocar no Wronskiano, a k-ésima coluna por (0,0, ldots, 0, f(x))^t, onde f(x) é a função que se encontra do lado direito da igualdade, da edo.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para afirmarmos se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
“Ao resolver uma equação diferencial ordinária, de ordem n , não-homogênea, pelo método da variação dos parâmetros se determinam uk^prime = WWk , para k=1, ldots, n . W é o Wronskiano das n soluções da EDO na forma homogênea, e Wk é o determinante obtido ao trocar no Wronskiano, a k -ésima coluna por (0,0, ldots, 0, f(x))^t , onde f(x) é a função que se encontra do lado direito da igualdade, da EDO.”
Vamos usar o método da variação dos parâmetros para resolver EDOs não-homogêneas e verificar se essa afirmação está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de ordem n . É uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida até a n -ésima ordem. Se for não-homogênea, isso significa que há um termo independente da função desconhecida, geralmente escrito como f(x) .

Passo 3

O método da variação dos parâmetros é uma técnica para encontrar soluções particulares de EDOs não-homogêneas. A ideia é assumir que os coeficientes das soluções da equação homogênea (onde f(x) = 0 ) não são constantes, mas sim funções que precisamos determinar.

Passo 4

Para uma EDO linear de ordem n :
y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + ldots + a0(x)y = f(x)
A solução geral é a soma da solução geral da homogênea ( yh ) e uma solução particular ( yp ):
y = yh + yp

Passo 5

A solução homogênea yh é uma combinação linear de n soluções lineares independentes y1, y2, ldots, yn :
yh = C1 y1 + C2 y2 + ldots + Cn yn
onde C1, C2, ldots, Cn são constantes.

Passo 6

No método da variação dos parâmetros, substituímos as constantes Ck por funções uk(x) . Assim, a solução particular é:
yp = u1 y1 + u2 y2 + ldots + un yn

Passo 7

Derivando yp e substituindo na EDO original, obtemos um sistema de equações para determinar as derivadas uk' . A solução desse sistema envolve o Wronskiano W das soluções y1, y2, ldots, yn .

Passo 8

O Wronskiano W é o determinante formado pelas soluções e suas derivadas:
W = y1 & y2 & ldots & yn y1' & y2' & ldots & yn' vdots & vdots & ddots & vdots y1^(n-1) & y2^(n-1) & ldots & yn^(n-1)

Passo 9

As derivadas uk' são dadas por:
uk' = WkW
onde Wk é o determinante semelhante a W , mas com a k -ésima coluna substituída pelo vetor 0 0 vdots f(x) .

Passo 10

Comparando com a afirmação original:
uk^prime = WWk
Percebemos que na afirmação está invertido, já que a fórmula correta é uk' = WkW .

Resposta

Falso. A expressão correta para uk^prime é WkW , não WWk .

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