Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Sabendo que para a equação
, a equação característica terá como raízes
e
, e uma forma de se representar a solução, será
.
Sabendo que para a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa sobre uma equação diferencial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, a gente vai precisar entender como encontrar a equação característica, calcular suas raízes e, a partir delas, montar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 3
Pra resolver esse tipo de equação, a gente pode usar a substituição de Euler, que é útil quando os coeficientes são polinomiais. A ideia é tentar uma solução do tipo
.
Passo 4
Vamos substituir
na equação:
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Como
não é zero, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero para achar a equação característica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Passo 7
As raízes encontradas são
e
. Essas raízes são complexas conjugadas, o que indica que a solução geral da equação será da forma:
Onde
e
das raízes.
Passo 8
Substituindo
e
, a solução geral fica:
Passo 9
Agora, vamos comparar com a forma apresentada na afirmação:
Notamos que, na solução correta, o argumento das funções trigonométricas é
, e não
como afirmado.
Resposta
Falso. A forma correta da solução envolve o logaritmo de
no argumento das funções trigonométricas, ou seja,
e
, e não
e
como foi afirmado.