Assinale verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.
Sabendo que para a equação x^2 y^prime prime+3 x y^prime+3 y=0, a equação característica terá como raízes m1=-1+raiz2 i e m2=-1-raiz2 i, e uma forma de se representar a solução, será y=x^-1[c1 cos (raiz2 x)+sen(raiz2 x)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa sobre uma equação diferencial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, a gente vai precisar entender como encontrar a equação característica, calcular suas raízes e, a partir delas, montar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: x^2 y'' + 3x y' + 3y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 3

Pra resolver esse tipo de equação, a gente pode usar a substituição de Euler, que é útil quando os coeficientes são polinomiais. A ideia é tentar uma solução do tipo y = x^m .

Passo 4

Vamos substituir y = x^m na equação:
Primeiro, calculamos as derivadas:
  • y' = m x^m-1
  • y'' = m(m-1) x^m-2
Substituindo na equação original:
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 + 3x cdot m x^m-1 + 3x^m = 0
Simplificando:
m(m-1) x^m + 3m x^m + 3x^m = 0
[m(m-1) + 3m + 3] x^m = 0

Passo 5

Como x^m não é zero, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero para achar a equação característica:
m(m-1) + 3m + 3 = 0
m^2 - m + 3m + 3 = 0
m^2 + 2m + 3 = 0

Passo 6

Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
m = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 2 e c = 3 :
m = -2 pm raiz4 - 122
m = -2 pm raiz-82
m = -2 pm 2iraiz22
m = -1 pm iraiz2

Passo 7

As raízes encontradas são m1 = -1 + iraiz2 e m2 = -1 - iraiz2 . Essas raízes são complexas conjugadas, o que indica que a solução geral da equação será da forma:
y = x^alpha [ c1 cos(beta ln x) + c2 sin(beta ln x) ]
Onde alpha = parte real e beta = parte imaginária á das raízes.

Passo 8

Substituindo alpha = -1 e beta = raiz2 , a solução geral fica:
y = x^-1 [ c1 cos(raiz2 ln x) + c2 sin(raiz2 ln x) ]

Passo 9

Agora, vamos comparar com a forma apresentada na afirmação:
y = x^-1 [ c1 cos(raiz2 x) + sen(raiz2 x) ]
Notamos que, na solução correta, o argumento das funções trigonométricas é raiz2 ln x , e não raiz2 x como afirmado.

Resposta

Falso. A forma correta da solução envolve o logaritmo de x no argumento das funções trigonométricas, ou seja, cos(raiz2 ln x) e sin(raiz2 ln x) , e não cos(raiz2 x) e sin(raiz2 x) como foi afirmado.

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