Resolva a equação sen(x) y^prime prime+sen(x) y=cos (x) pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo
sin(x) y'' + sin(x) y = cos(x). Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas, ou seja, aquelas que têm um termo extra além da parte homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por sin(x), assim:
y'' + y = cos(x)sin(x)
Isso fica mais fácil de trabalhar. Agora, nossa equação está na forma padrão:
y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
onde, nesse caso, p(x) = 0, q(x) = 1 e g(x) = cos(x)sin(x).

Passo 3

Antes de aplicar a variação dos parâmetros, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
y'' + y = 0
Resolvendo essa equação característica, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 1 = 0 implies r = pm i
Isso nos dá uma solução geral para a homogênea:
yh = C1 cos(x) + C2 sin(x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular yp da equação não homogênea. Assumimos que:
yp = u1(x) cos(x) + u2(x) sin(x)
onde u1(x) e u2(x) são funções a serem determinadas.

Passo 5

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = u1' cos(x) - u1 sin(x) + u2' sin(x) + u2 cos(x)
yp'' = u1'' cos(x) - 2u1' sin(x) - u1 cos(x) + u2'' sin(x) + 2u2' cos(x) - u2 sin(x)
Para simplificar os cálculos, fazemos a condição:
u1' cos(x) + u2' sin(x) = 0
Isso ajuda a eliminar termos complicados.

Passo 6

Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
y'' + y = cos(x)sin(x)
E aplicando as condições que impusemos, chegamos a um sistema de equações:
u1' cos(x) + u2' sin(x) = 0 - u1' sin(x) + u2' cos(x) = cos(x)sin(x)

Passo 7

Resolvendo esse sistema para u1' e u2':
Multiplicamos a primeira equação por cos(x) e a segunda por sin(x) e somamos:
u2' (sin^2(x) + cos^2(x)) = cos(x)sin(x) sin(x) implies u2' = cos(x)
Então,
u2 = integral cos(x) dx = sin(x) + C
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante C.
Para u1':
u1' cos(x) + sin(x) cos(x) = 0 implies u1' = -cos(x) tan(x) = -cos^2(x)sin(x)
Então,
u1 = -integral cos^2(x)sin(x) dx
Usando a identidade cos^2(x) = 1 - sin^2(x), temos:
u1 = -integral 1 - sin^2(x)sin(x) dx = -integral csc(x) dx + integral sin(x) dx = ln|tan(x2)| - cos(x) + C
Novamente, ignoramos a constante C.

Passo 8

Agora, substituímos u1 e u2 na expressão para yp:
yp = u1 cos(x) + u2 sin(x) = (ln|tan(x2)| - cos(x)) cos(x) + sin(x) sin(x)
Simplificando:
yp = ln|tan(x2)| cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x)
Usando a identidade sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x):
yp = ln|tan(x2)| cos(x) - cos(2x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos(x) + C2 sin(x) + ln|tan(x2)| cos(x) - cos(2x)
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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