Resolva a equação pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é resolver essa equação usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas, ou seja, aquelas que têm um termo extra além da parte homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por , assim:
Isso fica mais fácil de trabalhar. Agora, nossa equação está na forma padrão:
onde, nesse caso, , e .
Passo 3
Antes de aplicar a variação dos parâmetros, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada, que é:
Resolvendo essa equação característica, encontramos as raízes da equação característica:
Isso nos dá uma solução geral para a homogênea:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação não homogênea. Assumimos que:
onde e são funções a serem determinadas.
Passo 5
Calculamos as derivadas de :
Para simplificar os cálculos, fazemos a condição:
Isso ajuda a eliminar termos complicados.
Passo 6
Substituindo e suas derivadas na equação original:
E aplicando as condições que impusemos, chegamos a um sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo esse sistema para u1' e u2':
Multiplicamos a primeira equação por cos(x) e a segunda por sin(x) e somamos: