Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear T: V longrightarrow W é sobrejetora se e somente se dim N(T)=dim(V)- dim(W).
(b) Dada a transformação linear T: V longrightarrow W, para todo w in W fixado, o conjunto G= v in V: T(v)=w é um subespao de V.
(c) Toda transformação linear T: C(R, R) longrightarrow C(R, R) injetora é também sobrejetora.
(d) O núcleo de toda transformação linear T: R^5 longrightarrow R^3 tem dimensão maior ou igual a 3 .

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa, envolvendo transformações lineares, o teorema da dimensão (rank-nullity), propriedades de imagens inversas e diferenças entre espaço de dimensão finita e infinita. Vamos usar:
  1. Teorema da dimensão: .
  2. Fato de que o conjunto é um cosubconjunto afim, não subespaço, salvo .
  3. Exemplos em espaços infinitos (injeção sem sobrejeção).
  4. Cálculo de nulidade em transformações .

Passo 2

Analisando (a): para Tcolon Vto W com dim V,dim W<infty, o teorema da dimensão dá
dim V = dimker(T) + dimIm(T)
Se T é sobrejetora então Im(T)=W e dimIm(T)=dim W, logo
dimker(T)=dim V-dim W
Recíproco idem. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): para wneq0, o conjunto
G=vin V:T(v)=w
é vazio ou uma translação de ker(T), isto é, um subespaço afim, mas não necessariamente contém o vetor zero, logo não é subespaço de V. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c): em espaços de dimensão infinita uma aplicação linear injetora não precisa ser sobrejetora. Exemplo em :
é injetora (se então ), mas não é sobrejetora, pois não existe com sempre contínua e derivável. Logo (c) é falsa.

Passo 5

Analisando (d): para vale . Como , segue
não necessariamente . Portanto (d) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso

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