Assinale Verdadeiro ou Falso:
(a) Uma transformação linear
é sobrejetora se e somente se
.
(b) Dada a transformação linear
, para todo
fixado, o conjunto
é um subespao de
.
(c) Toda transformação linear
injetora é também sobrejetora.
(d) O núcleo de toda transformação linear
tem dimensão maior ou igual a 3 .
(a) Uma transformação linear
(b) Dada a transformação linear
(c) Toda transformação linear
(d) O núcleo de toda transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa, envolvendo transformações lineares, o teorema da dimensão (rank-nullity), propriedades de imagens inversas e diferenças entre espaço de dimensão finita e infinita. Vamos usar:
- Teorema da dimensão:
. - Fato de que o conjunto
é um cosubconjunto afim, não subespaço, salvo . - Exemplos em espaços infinitos (injeção sem sobrejeção).
- Cálculo de nulidade em transformações .
Passo 2
Analisando (a): para
com
, o teorema da dimensão dá
Se
é sobrejetora então
e
, logo
Recíproco idem. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): para
, o conjunto
é vazio ou uma translação de
, isto é, um subespaço afim, mas não necessariamente contém o vetor zero, logo não é subespaço de
. Portanto (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c): em espaços de dimensão infinita uma aplicação linear injetora não precisa ser sobrejetora. Exemplo em :
é injetora (se
então
), mas não é sobrejetora, pois não existe
com
sempre contínua e derivável. Logo (c) é falsa.
Passo 5
Analisando (d): para vale
. Como
, segue
não necessariamente
. Portanto (d) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso