Verificar se as retas são concorrentes e em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
r1:lx=-1+t y=4-t e r2: x-32=y+1-3=z-24 z=-8+3 t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas, r1 e r2 , e precisamos verificar se elas se cruzam em algum ponto, ou seja, se são concorrentes. Se elas se cruzarem, precisamos encontrar esse ponto de interseção.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica. Precisamos expressar as equações das retas de forma que possamos igualar os parâmetros e encontrar valores que satisfaçam ambas as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações das retas de uma maneira mais clara.
Para [r_1), temos:
Aqui, .
Para , a equação é dada de forma simétrica:
Vamos chamar esse comum de , então:
Agora, .

Passo 3

Para verificar se as retas são concorrentes, precisamos encontrar valores de t e s que tornam as coordenadas x , y e z iguais para ambas as retas.
Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
  1. -1 + t = 3 + 2s \quad (Equação para x )
  2. 4 - t = -1 - 3s \quad (Equação para y )
  3. -8 + 3t = 2 + 4s \quad (Equação para z )

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( t e s ). Vamos resolver esse sistema para encontrar possíveis valores de t e s .
Primeiro, da primeira equação:
-1 + t = 3 + 2s implies t = 4 + 2s
Substituímos t na segunda equação:
4 - (4 + 2s) = -1 - 3s implies 0 - 2s = -1 - 3s
Adicionando 3s aos dois lados:
s = -1
Com s = -1 , encontramos t :
t = 4 + 2(-1) = 2

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses valores de t e s satisfazem a terceira equação:
-8 + 3(2) = 2 + 4(-1) implies -8 + 6 = 2 - 4 implies -2 = -2
Como a igualdade é verdadeira, os valores encontrados são consistentes.

Resposta

As retas r1 e r2 são concorrentes e se interceptam no ponto (1, 2, -2) .

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