cuja ação em quatro matrizes (que formam uma base de M2times2(R)) é conhecida. Nosso objetivo é achar uma fórmula de T em uma matriz genérica a & b c & d. Para isso vamos usar coordenadas nessa base e a linearidade de T.
Passo 2
Denotemos as matrizes da base por
com
Para qualquer
existe única combinação .
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema:
da terceira equação x2=c.
Da segunda, -x1+c=b implica
x1 = c - b
Das duas primeiras/última equações substituímos x1,x2 e ficamos com
2x3 + x4 = a - (c - b) = a - c + b, x3 + x4 = d - 2c
Subtraindo a segunda da primeira,
x3 = (a-c+b) - (d-2c) = a + b + c - d,
e então
x4 = (d-2c) - x3 = d - 2c - (a+b+c-d) = 2d - a - b - 3c
Passo 4
Pela linearidade,
T(M) = x1,T(E1) + x2,T(E2) + x3,T(E3) + x4,T(E4)
Escrevendo em coordenadas,
T(M) = l(x1+2x2 - x4,;x2 + x3 + x4r)
Substituindo os xi encontrados:
Passo 5
Calculando cada componente:
1ª comp&: (c - b) + 2c - (2d - a - b - 3c) = a + 6c - 2d, 2ª comp&: c + (a + b + c - d) + (2d - a - b - 3c) = d - c ªª