Mostre que se
e
são espaços vetoriais de dimensão finita tais que
e se
então as seguintes condições são equivalentes:
(a)
é sobrejetora.
(b)
é injetora.
(c)
é bijetora.
(d)
leva bases de
en bases de
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá dois espaços vetoriais
e
de dimensão finita com
e uma transformação linear
. Precisamos mostrar que as quatro propriedades abaixo são equivalentes:
(a) é sobrejetora.
(b) é injetora.
(c) é bijetora.
(d) leva qualquer base de
em uma base de
.
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e as definições de injeção, sobrejeção e base em espaços de mesma dimensão.
(a)
(b)
(c)
(d)
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e as definições de injeção, sobrejeção e base em espaços de mesma dimensão.
Passo 2
Mostramos que (a)
(b) usando Rank–Nullity. O teorema diz que
Se
é sobrejetora, então
e
.
Logo , o que implica
e portanto
é injetora.
Reciprocamente, se é injetora então
e daí
, isto é,
, ou seja,
é sobrejetora.
Logo
Reciprocamente, se
Passo 3
Como bijetora significa ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, concluímos de imediato que
Portanto já temos
Passo 4
Agora mostramos
. Suponha
bijetora e seja
uma base de
.
- Injeção de
garante que os vetores
sejam linearmente independentes em . - Sobrejeção de
garante que a imagem de por é todo , então esses vetores geram .
Como, ter vetores linearmente independentes e geradores significa que é uma base de .
Passo 5
Finalmente mostramos
. Se existe uma base
de
tal que
é base de
, então:
- Como geram
, é sobrejetora. - Como são linearmente independentes,
não “colapsa” direção nenhuma, logo é injetora.
Assimé bijetora.
Resposta
As condições (a), (b), (c) e (d) são todas equivalentes, ou seja,