Mostre que se U e V são espaços vetoriais de dimensão finita tais que dim U=dim V e se T in L(U, V) então as seguintes condições são equivalentes:
(a) T é sobrejetora.
(b) T é injetora.
(c) T é bijetora.
(d) T leva bases de U en bases de V.

Passo 1

O enunciado nos dá dois espaços vetoriais U e V de dimensão finita com
dim U = dim V,
e uma transformação linear Tcolon Uto V. Precisamos mostrar que as quatro propriedades abaixo são equivalentes:
(a) T é sobrejetora.
(b) T é injetora.
(c) T é bijetora.
(d) T leva qualquer base de U em uma base de V.
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e as definições de injeção, sobrejeção e base em espaços de mesma dimensão.

Passo 2

Mostramos que (a) Leftrightarrow(b) usando Rank–Nullity. O teorema diz que
dim U = dimker T + dimImT
Se T é sobrejetora, então ImT = V e
dimImT = dim V = dim U.
Logo dimker T = 0, o que implica ker T = 0 e portanto T é injetora.
Reciprocamente, se T é injetora então dimker T=0 e daí
dimImT = dim U = dim V, isto é, ImT=V, ou seja, T é sobrejetora.

Passo 3

Como bijetora significa ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, concluímos de imediato que
(a);e;(b)Longrightarrow(c) e também(c);Longrightarrow;(a);e;(b) é
Portanto já temos
(a);Leftrightarrow;(b);Leftrightarrow;(c)

Passo 4

Agora mostramos (c)Rightarrow(d). Suponha T bijetora e seja B=(u1,dots,un) uma base de U.
  • Injeção de T garante que os vetores
    l(T(u1),dots,T(un)r) sejam linearmente independentes em V.
  • Sobrejeção de T garante que a imagem de U por T é todo V, então esses n vetores geram V.
    Como dim V=n, ter n vetores linearmente independentes e geradores significa que l(T(u1),dots,T(un)r) é uma base de V.

Passo 5

Finalmente mostramos (d)Rightarrow(c). Se existe uma base B=(u1,dots,un) de U tal que
l(T(u1),dots,T(un)r) é base de V, então:
  • Como geram V, T é sobrejetora.
  • Como são linearmente independentes, T não “colapsa” direção nenhuma, logo é injetora.
    Assim T é bijetora.

Resposta

As condições (a), (b), (c) e (d) são todas equivalentes, ou seja,
(a);Leftrightarrow;(b);Leftrightarrow;(c);Leftrightarrow;(d)

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