Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique cada escolha (utilize a outra página para uma melho organização):
Se a transformação linear A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é injetiva então
\operatorname{dim} \operatorname{Im}(A)=m .
(V) Se A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é sobrejetiva então
\operatorname{dim} \mathcal{N}(A)=m-n
(F) Se A, B \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) são tais que \operatorname{dim} \operatorname{Im}(A)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}(B) então
\operatorname{dim} \operatorname{Im}(A B)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}(B A)=\operatorname{dim} \operatorname{Im}(A) .
(F) Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} então a imagem do operador
A: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5}
tem dimensão 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as quatro afirmações que preciso julgar (cada uma sendo Verdadeira (V) ou Falsa (F)):
  1. Se a transformação linear A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é injetiva então
\dim \operatorname{Im}(A)=m .
  1. Se A: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} é sobrejetiva então
\dim \mathcal{N}(A)=m-n .
  1. Se A, B \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) são tais que \dim \operatorname{Im}(A)=\dim \operatorname{Im}(B) então
\dim \operatorname{Im}(A B)=\dim \operatorname{Im}(B A)=\dim \operatorname{Im}(A) .
  1. Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} então a imagem do operador
A: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5}
tem dimensão 2.
O objetivo é decidir V/F para cada afirmação e justificar com argumentos claros e exemplos quando necessário.

Passo 2

Conceitos e ferramenta principal que vou usar (explicação didática):
  • Definições:
    • A imagem (ou alcance) de A é o conjunto \operatorname{Im}(A)=\{A(x)\mid x\in\mathbb{R}^m\}. A dimensão da imagem é chamada de posto (rank) de A.
    • O núcleo (ou núcleo) de A é \mathcal{N}(A)=\{x\in\mathbb{R}^m\mid A(x)=0\}. A dimensão do núcleo é chamada de nulidade (nullity).
    • A é injetiva se A(x)=A(y) implica x=y. Equivalentemente, A é injetiva se e somente se \mathcal{N}(A)=\{0\}.
    • A é sobrejetiva se \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n. Equivalentemente, \dim \operatorname{Im}(A)=n.
  • Teorema posto-nulidade (rank–nullity): para qualquer transformação linear A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n vale a fórmula
\dim \operatorname{Im}(A) + \dim \mathcal{N}(A) = m.
Vou usar essa relação várias vezes; ela é a ferramenta básica para traduzir informações entre imagem e núcleo.
  • Observação prática: a dimensão da imagem \dim\operatorname{Im}(A) não pode ultrapassar n, pois é subespaço de \mathbb{R}^n. Logo \dim\operatorname{Im}(A)\le n. Isso é útil para ver consequências de injetividade/sobrejetividade.

Passo 3

Análise da afirmação 1:
Afirmação: Se A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n é injetiva então \dim\operatorname{Im}(A)=m.
Justificação passo a passo:
  • Injetividade \Rightarrow núcleo trivial: se A é injetiva então \mathcal{N}(A)=\{0\}. Portanto \dim\mathcal{N}(A)=0.
  • Aplicando posto-nulidade:
\dim \operatorname{Im}(A) + \underbrace{\dim \mathcal{N}(A)}_{=0} = m
resulta em
\dim \operatorname{Im}(A)=m.
  • Compatibilidade com o limite superior: isso também força m\le n (pois \dim\operatorname{Im}(A)\le n), mas a afirmação não precisava mencionar isso; apenas afirmar que a dimensão da imagem é m é correta.
Portanto a afirmação 1 é verdadeira.
Um pequeno exemplo para fixar: se m=2, n=3 e A é injetiva, então o posto de A é 2.

Passo 4

Análise da afirmação 2:
Afirmação: Se A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n é sobrejetiva então \dim\mathcal{N}(A)=m-n.
Justificação passo a passo:
  • Sobrejetividade \Rightarrow posto máximo: \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n, logo \dim\operatorname{Im}(A)=n.
  • Aplicando posto-nulidade:
\underbrace{\dim \operatorname{Im}(A)}_{=n} + \dim \mathcal{N}(A) = m
logo
\dim \mathcal{N}(A)=m-n.
  • Observação: isso exige necessariamente m\ge n (caso contrário não há como ser sobrejetiva), mas a fórmula é correta quando A é sobrejetiva.
Portanto a afirmação 2 é verdadeira.
Exemplo: para m=5 e n=3, se A é sobrejetiva então \dim\mathcal{N}(A)=5-3=2.

Passo 5

Análise da afirmação 3:
Afirmação: Dados A,B\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n) com \dim\operatorname{Im}(A)=\dim\operatorname{Im}(B), então
\dim\operatorname{Im}(AB)=\dim\operatorname{Im}(BA)=\dim\operatorname{Im}(A).
Comentário inicial: essa afirmação sugere que ter o mesmo posto força os produtos AB e BA a terem exatamente o mesmo posto também — isso é uma afirmação forte. Em geral, o posto do produto pode ser menor do que o posto dos fatores. Vamos mostrar que a igualdade nem sempre ocorre, portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo explícito e simples (muito didático):
  • Trabalhe em \mathbb{R}^2 ( n=2). Defina A e B como as projeções em direções diferentes:
    • Seja A a projeção sobre o eixo x: matriz
    A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
    • Seja B a projeção sobre o eixo y: matriz
    B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Ambos têm posto 1, portanto \dim\operatorname{Im}(A)=\dim\operatorname{Im}(B)=1.
  • Calcule o produto:
    • AB = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
    • Logo \dim\operatorname{Im}(AB)=0, que é diferente de 1.
  • Assim a igualdade exigida falha já para este exemplo simples. O mesmo ocorre com BA.
Conclusão: a afirmação 3 é falsa. Ter a mesma dimensão de imagem para A e B não garante nada sobre o posto de AB ou BA; produtos podem anular imagens parciais e diminuir o posto.]

Passo 6

Análise da afirmação 4:
Afirmação: Se \mathcal{N}(A) é gerado pelos vetores v_{1},v_{2},v_{3} então a imagem do operador A:\mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{5} tem dimensão 2.
Interpretação cuidadosa do enunciado:
  • "É gerado pelos vetores v_1,v_2,v_3" significa que \mathcal{N}(A)=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Porém isso apenas assegura que o núcleo está contido no subespaço gerado por esses três vetores e que esses três vetores geram o núcleo; não diz explicitamente que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes. Ou seja, um conjunto gerador com três vetores pode ser redundante — a dimensão do núcleo pode ser 1, 2 ou 3, dependendo de independência linear entre os v_i.
  • A dimensão da imagem é \dim\operatorname{Im}(A)=5-\dim\mathcal{N}(A) (posto-nulidade).
Duas situações possíveis:
  • Se v_1,v_2,v_3 forem linearmente independentes, então \dim\mathcal{N}(A)=3 e daí \dim\operatorname{Im}(A)=5-3=2. Nesse caso a conclusão seria correta.
  • Se houver dependência entre os v_i (por exemplo v_3=v_1+v_2), então \dim\mathcal{N}(A) pode ser 2 (ou até 1 se ainda mais dependência), e assim \dim\operatorname{Im}(A) seria 3 (ou 4), e não 2.
Contraexemplo concreto mostrando que a afirmação não é sempre verdadeira:
  • Considere um A cujo núcleo é \operatorname{span}\{e_1,e_2\} (dois vetores independentes). Então esse núcleo é gerado também pelos três vetores v_1=e_1, v_2=e_2, v_3=e_1+e_2. Assim \mathcal{N}(A) é gerado por três vetores, mas \dim\mathcal{N}(A)=2 e \dim\operatorname{Im}(A)=5-2=3, não 2. Portanto a afirmação que "se é gerado por três vetores então a imagem tem dimensão 2" é falsa no sentido universal.
Conclusão: a afirmação 4 é falsa porque a hipótese “gerado por três vetores” não garante que esses três vetores sejam linearmente independentes; sem independência não se pode concluir que \dim\mathcal{N}(A)=3.

Resposta

(V)
(V)
(F)
(F)

Exercícios relacionados